Matematyka.pl

\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&0\\1&0&1\end{array}\right]}\)

Oblicz \(\displaystyle{ \mbox{exp}(-M)}\)
--------------------------------------------------------------------------
(Uzywam oznaczenia: lambda = lb)

\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&0\\1&0&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&2&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ e^{M} = e^{\lambda E_{3} } \cdot e^{N} = \left[\begin{array}{ccc}e ^{\lambda} &0&0\\0&e ^{\lambda} &0\\0&0&e ^{\lambda} \end{array}\right]\cdot e ^{N} = e ^{\lambda} \cdot e ^{N}}\)

I w tym miejscu utknalem, nie wiem, co dalej. Moglbym ropisac jeszcze ew. \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&2&0\\1&0&0\end{array}\right]}\) jako \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right]}\), ale jak obliczyc to ?

Czy tutaj nie powinieneś skorzystać z tego wzoru ?

Zapisz \(\displaystyle{ M=PJP^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ J}\) jest macierzą Jordana \(\displaystyle{ M}\) a \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą przejścia utworzoną z wektorów własnych. Macierz \(\displaystyle{ J}\) jest przyjemna - ma trzy różne wartości własne.

Następnie skorzystaj z tego, że

\(\displaystyle{ e^{PJP^{-1}}=Pe^{J}P^{-1}}\)

\(\displaystyle{ e^{\lambda E_{3} } \cdot e^{N} = \left[\begin{array}{ccc}e ^{\lambda} &0&0\\0&e ^{\lambda} &0\\0&0&e ^{\lambda} \end{array}\right]\cdot e ^{N} = e ^{\lambda} \cdot e ^{N}}\)

Te przekształcenia są niepoprawne - każda równość jest niepoprawna.