Matematyka.pl

Witam!

Mam pewne dylematy dotyczące działu o wektorach (słaba jakość notatek). Na początek...

1. Mam zbiór n wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\): załóżmy 3 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Czy w tym przypadku wystarczy, że zamienię wektory w macierz, policzę wyznacznik i zależnie od 0/innej wartości układ wektorów jest zależny/niezależny?

2. Mam zbiór n wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{m}}\): załóżmy 2 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). W tym z kolei wypadku gdy zamienię wektory w macierz (3x2) nie policzę wyznacznika. W jaki więc sposób sprawdzić liniową niezależność wektorów? Wiem ze mam pomnożyć kolejne wektory przez współczynniki x,y,z i porównać je do wektora zerowego. Stworzy mi się układ równań. Ale jeśli układ równań będzie trudny do rozwiązania? Jakieś metody? I kiedy układ wektorów będzie niezależny a kiedy zależny?

Dzięki z góry za poświęcony czas. Pomóżcie bo jutro kolokwium

1.tak
2. możesz jeszcze policzyć rząd tej macierzy jeśli będzie maksymalny to wektory są niezależne (dla 2 wektorów z \(\displaystyle{ R^{3}}\) rząd jest 2 jeśli są niezależne i jeden jeśli są zależne)

Co to znaczy, że rząd będzie maksymalny? To, że wyznacznik największego minora tej macierzy będzie różny od 0?-- 16 sty 2012, o 18:04 --Mam jeszcze ostatnie podobne pytanie...

W przypadku gdy mam stwierdzić, czy zbiór wektorów jest bazą przestrzeni liniowej jeżeli liczba wektorów to np. 3 a przestrzeń R ^{3} to wystarczy, że policzę wyznacznik i jeżeli wyjdzie on 0 to nie jest bazą a jeśli różny od 0 to jest bazą? Dobrze myśle?

I jak się ma ta sprawa jeżeli mam np. 2 wektory a przestrzeń R ^{3}?

maksymalny to znaczy największy z fizycznie możliwych np w macierzy 5x3 będzie to 3
to z minorami to prawda ale nie jest to jedyny sposób

pierwsze pytanie: tak
co do drugiego zdaje mi się że 2 wektory z samego założenia nie mogą być bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) bo nie mogą jej generować, ale nie jestem do końca pewien

Aha. Czyli jeśli mam przykładowo taką macierz:
left| 1 2 3 4
ight|
left| 5 1 8 9
ight|
left| 0 2 1 6
ight|
To wyliczam wyznacznik z macierzy tej możliwej największej fizycznie (3x3 w tym przypadku), czyli:
left| 2 3 4
ight|
left| 1 8 9
ight|
left| 2 1 6
ight|
I jeśli jest różny od zera czyli minor wynosi 3 a więc jest różny od 0 czyli jest liniowo niezależny? O to chodzi?
Tą macierz zawsze bierzemy od prawej czy to nieistotne?-- 16 sty 2012, o 18:28 --A w przypadku gdy mam stwierdzyć czy wektory są bazami...
Jeśli liczba wektorów jest różna od stopnia R to znaczy, że nie tworzą bazy nigdy, a jeśli liczba wektorów jest taka sama jak stopień R to znaczy ze tworzą baze, ale tylko w zależności od wyznacznika?