Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi wskazanych przestrzeni liniowych?
a) \(\displaystyle{ V_1=\left\{ (x,y,z,t)\in \RR^4 : x+y+z=0,x-y=3\right\} \subseteq \RR^4 }\)
b) \(\displaystyle{ V_2=\left\{ (x,y)\in \RR^2 : xy \ge 0\right\} \subseteq \RR^2 }\)
c) \(\displaystyle{ V_3=\left\{ (x,y,z)\in \RR^3 : 3x=3y,x-z=0\right\} \subseteq \RR^3 }\)
d) \(\displaystyle{ V_4=\left\{ (2x+3y,x-y,3x-y)\in \RR^3 : x,y\in\RR\right\} \subseteq \RR^3 }\)
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) Uważam, że nie, gdyż \(\displaystyle{ (0,0,0,0)\notin V_1 }\), bo \(\displaystyle{ 0-0 \neq 3}\).
b) Uważam, że nie, gdyż jeśli weźmiemy wektory \(\displaystyle{ (-3,-1),(1,2)}\) to oczywiście one należą do \(\displaystyle{ V_2}\), ale \(\displaystyle{ (-3,-1)+(1,2)=(-2,1)\notin V_2}\).
c) Uważam, że tak, gdyż \(\displaystyle{ (0,0,0)\in V_3}\) oraz oczywiście elementy tego zbioru są postaci \(\displaystyle{ (x,x,x)}\), zatem dla dowolnego skalaru \(\displaystyle{ a}\) i dowolnego elementu \(\displaystyle{ (x,x,x)}\), element \(\displaystyle{ (ax,ax,ax)\in V_3}\), gdyż dla dowolnych \(\displaystyle{ a,x\in\RR}\) \(\displaystyle{ ax\in \RR}\). Ponadto dla dowolnych dwóch wektorów \(\displaystyle{ (a,a,a),(b,b,b)}\) wektor \(\displaystyle{ (a+b,a+b,a+b)\in V_3}\), gdyż dodawanie jest wewnętrzne w zbiorze liczb rzeczywistych.
d) Uważam, że tak, gdyż \(\displaystyle{ (0,0,0)\in V_4}\) oraz jeśli ustalimy dowolny wektor \(\displaystyle{ (2x+3y,x-y,3x-y)}\) i dowolny skalar \(\displaystyle{ a}\), to \(\displaystyle{ a(2x+3y,x-y,3x-y)=(2(ax)+3(ay),(ax)-(ay),3(ax)-(ay))\in V_4}\), albowiem \(\displaystyle{ ax,ay\in\RR}\). Ponadto, jeśli \(\displaystyle{ (2x+3y,x-y,3x-y)}\) oraz \(\displaystyle{ (2a+3b,a-b,3a-b)}\) mamy ich sumę \(\displaystyle{ (2(x+a)+3(y+b),x+a-(y+b),3(x+a)-(y+b))\in V_4}\), gdyż \(\displaystyle{ (x+a),(y+b)\in \RR}\).
Dobrze?
