Matematyka.pl

Czy układ \(\displaystyle{ B}\) jest liniowo niezależny? Czy \(\displaystyle{ V = LinB}\)? Czy \(\displaystyle{ B}\) jest bazą przestzreni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ K}\)?
\(\displaystyle{ V = \CC \quad K = \CC \quad B = (3+5i, 4-i)}\)
I teraz tak, wiem że \(\displaystyle{ dimV = 1}\), \(\displaystyle{ \left| B\right|= 2 }\) oraz wyszło mi, że \(\displaystyle{ B}\) jest liniowo niezależne. Teraz nie wiem, czy żeby \(\displaystyle{ V = LinB}\) to oprócz tego, że układ \(\displaystyle{ B}\) ma być liniowo niezależny, to czy moc zbioru \(\displaystyle{ B}\) musi być równa wymiarowi przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), czy może ona być większa od wymiaru i nie być tym samym bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ \dim B =\dim( 3 +5i, \ \ 4 - i) = 1 ? }\)

Czy znasz definicje wymiaru przestrzeni. Jeżeli tak, to czy nic cię nie dziwi w twoim pytaniu?

a4karo pisze: ↑26 lis 2023, o 11:21 Czy znasz definicje wymiaru przestrzeni. Jeżeli tak, to czy nic cię nie dziwi w twoim pytaniu?

No znam, wymiar przestrzeni jest równy liczbie elementów składających się na jej bazę. Czyli skoro \(\displaystyle{ dimB \neq dimV}\) to z automatu zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie może być bazą \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ K}\), zatem \(\displaystyle{ LinB \neq V}\)?
Dobrze rozumiem?

Dodano po 58 minutach 20 sekundach:

janusz47 pisze: ↑26 lis 2023, o 10:09 Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ \dim B =\dim( 3 +5i, \ \ 4 - i) = 1 ? }\)

Właśnie nie, wyszło mi że \(\displaystyle{ \dim B = 2 }\) ... czyli \(\displaystyle{ LinB \neq V }\), tak?

Tajwer pisze: ↑26 lis 2023, o 14:14Właśnie nie, wyszło mi że \(\displaystyle{ \dim B = 2 }\)

A jakżeż Ci to wyszło?

Czy zauważyłeś, że \(\displaystyle{ 3+5i=(4-i)\left( \frac{7}{17}+\frac{23}{17}i\right) }\) , co oznacza, że te wektory są liniowo zależne nad \(\displaystyle{ \CC}\) ?

JK

A w jaki sposób dwa wektory należące do przestrzeni `V` mogą rozpinać coś, co ma wymiar większy niż `V`?

No faktycznie nie mogą. Mój błąd teraz to rozumiem. Dzięki wielkie.