Matematyka.pl

Ok, wyjaśnijmy to sobie raz na zawsze. Co to są kierunki główne macierzy? Że mam znaleźć jej wektory własne i zrobić im ortogonalizację, żeby były prostopadłe i to będą te kierunki główne? Proszę o prostą odpowiedź.

Jaki to jest typ krzywej \(\displaystyle{ 9x^{2}+12xy+4y^{2}=-4}\)? W liczbach rzeczywistych żaden, prawda? Bo w liczbach rzeczywistych to równanie nie ma rozwiązań, a my liczb zespolonych jeszcze nie mieliśmy. Chociaż według wolframa na płaszczyźnie urojonej też nie bardzo. To co to jest?

Jak coś to nie ma błędu w przepisaniu z karty zadań, chyba że już jestem kompletnie ślepa, ale jak jestem kompletnie ślepa to już po mnie tak czy siak.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 01:19 Co to są kierunki główne macierzy? Że mam znaleźć jej wektory własne i zrobić im ortogonalizację, żeby były prostopadłe i to będą te kierunki główne?

Ma to sens dla macierzy symetrycznych (samosprzężonych), czyli np. dla macierzy drugiej różniczki albo macierzy kowariancji. Nie wiem, czy dla innych macierzy też się definiuje kierunki główne. Jeśli przestrzenie własne wyjdą jednowymiarowe, to żadna ortogonalizacja nie jest potrzebna, bo przestrzenie własne macierzy samosprzężonej są nawzajem ortogonalne. Wystarczy ortogonalizacja w obrębie każdej przestrzeni własnej osobno. Na geometrii różniczkowej będziesz się uczyć o krzywiznach głównych powierzchni w danym punkcie.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 01:19 Proszę o prostą odpowiedź.

Może przy następnym pytaniu mi się uda.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 01:19 Jaki to jest typ krzywej \(\displaystyle{ 9x^{2}+12xy+4y^{2}=-4}\)? W liczbach rzeczywistych żaden, prawda?

Prawda.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 01:19 To co to jest?

Zbiór pusty.

Daj Pan spokój... Chodzi mi o macierz trzy na trzy, która ma same cyferki w środku i jest diagonalizowalna. Czym są jej kierunki główne? Moim zdaniem wygiętymi ortogonalizacją wektorami własnymi.

Dobra, a co to jest za powierzchnia \(\displaystyle{ 5x^{2}+6y^{2}+7y^{2}+4xy-4yz=3}\)? To jest hiperboloida jednopowłokowa, ale jak do tego dojść?

Kierunki główne (własne) macierzy są to wartości własne macierzy. Macierz która na głównej diagonali ma wartości własne nazywa się macierzą główną albo macierzą własną formy kwadratowej.

Wektory własne odpowiadające wartością własnym macierzy formy kwadratowej wyznaczają kierunki główne sprowadzając formę do postaci kanonicznej o ile taka postać istnieje.

Żeby odpowiedzieć na pytanie co to za powierzchnia musimy:

Znaleźć postać macierzy formy kwadratowej,

Obliczyć jej wielomian charakterystyczny,

Obliczyć wartości własne macierzy,

Znaleźć wektory własne odpowiadające wartościom własnym macierzy.

Zapisać macierz, której kolumnami są unormowane wartości własne.

Znaleźć jej macierz odwrotną,

Sprowadzić formę do postaci kanonicznej.

Proszę najpierw znaleźć macierz formy kwadratowej.

Przy współczynniku \(\displaystyle{ 7 }\) tym następnym powinna być chyba zmienna \(\displaystyle{ z^2,}\) nie \(\displaystyle{ y^2 ?}\)

Jeśli uwzględmimy tą poprawkę mnie wyszło równanie elipsoidy.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 13:15 Daj Pan spokój... Chodzi mi o macierz trzy na trzy, która ma same cyferki w środku i jest diagonalizowalna.

Ale czy jest symetryczna? Jeśli tak, to jest nawet ortogonalnie diagonalizowalna.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 13:15 Czym są jej kierunki główne? Moim zdaniem wygiętymi ortogonalizacją wektorami własnymi.

Dlaczego miałyby być wygięte? Jeśli macierz jest symetryczna, to wektory własne nawet po ortogonalizacji będą nadal całkiem prostymi wektorami własnymi.

Niepokonana pisze: ↑10 wrz 2022, o 13:15 Dobra, a co to jest za powierzchnia \(\displaystyle{ 5x^{2}+6y^{2}+7y^{2}+4xy-4yz=3}\)? To jest hiperboloida jednopowłokowa, ale jak do tego dojść?

Metoda przedszkolna, zwykle skuteczna, jest taka, że najpierw znajdujemy wszystkie składniki zawierające \(x\) i uzupełniamy je do kwadratu.
\(\displaystyle{ 5\left(x^2-\frac45xy+\frac4{25}y^2\right)=5\left(x-\frac25y\right)^2}\)
Równanie powierzchni przekształca się do:
\(\displaystyle{ 5\left(x-\frac25y\right)^2-\frac45y^2 +6y^{2}+7y^{2}-4yz=3}\)
Żeby uzupełnić do kwadratu, musieliśmy dopisać \(5\cdot\frac4{25}y^2\), dlatego dopisaliśmy też \(-\frac45y^2\), żeby się zgadzało.

W dalszej kolejności zbieramy wszystkie wyrazy z \(y\) i też uzupełniamy do kwadratu.

janusz47 pisze: ↑10 wrz 2022, o 18:17 Jeśli uwzględmimy tą poprawkę mnie wyszło równanie elipsoidy.

Też tak uważam. Bez poprawki wychodzi hiperboloida jednopowłokowa, ale trudno powiedzieć, czy taka miała być treść zadania.

Co to są proste wektory własne ? Czy istnieją złożone wektory własne ?

Co to jest " metoda przedszkolna" sprowadzania kwadryki do postaci kanonicznej? Czy ta metoda tu będzie "zwykle skuteczna"?

Co się stanie ze zmienną \(\displaystyle{ z }\) w tym "przedzkolnym" uzupełnianiu do kwadratu ?

janusz47 pisze: ↑10 wrz 2022, o 22:25 Co to są proste wektory własne ? Czy istnieją złożone wektory własne ?

Była mowa o wygiętych wektorach, dlatego podkreśliłem, że te wyjdą idealnie proste. Mnie w ogóle nie uczono o wyginaniu wektorów.

janusz47 pisze: ↑10 wrz 2022, o 22:25 Co to jest " metoda przedszkolna" sprowadzania kwadryki do postaci kanonicznej? Czy ta metoda tu będzie "zwykle skuteczna"?

To już napisałem wyżej. Ja akurat nie chodziłem do przedszkola, ale wyobrażam sobie że robi się tam takie rzeczy jak grupowanie wyrazów i zwijanie do kwadratu.

janusz47 pisze: ↑10 wrz 2022, o 22:25 Co się stanie ze zmienną \(\displaystyle{ z }\) w tym "przedzkolnym" uzupełnianiu do kwadratu ?

Gotowiec jest niepotrzebny, bo napisałem wystarczająco dużo.

Takie podowiedzi i odpowiedzi nic nie dają tylko powodują zamęt w głowie.

Moim zdaniem zamęt powoduje połączenie dwóch tematów w jednym. W ten sposób automatycznie jest zasugerowane, że trzeba znaleźć wektory własne, żeby rozpoznać rodzaj krzywej/powierzchni. Do rozpoznania rodzaju krzywej/powierzchni wystarczy mi przekształcenie afiniczne do postaci kanonicznej. Nie potrzebuję podstawienia zachowującego prostopadłość. No chyba że ktoś koniecznie chce rozróżniać pomiędzy sferą a inną elipsoidą albo pomiędzy hiperboloidą jednopowłokową o okrągłym albo spłaszczonym przekroju. W takim wypadku potrzebna jest izometria, ale tego, jak rozumiem, polecenie zadania nie wymaga.

Metoda przekształceń ortogonalnych (przesunięć i obrotów) czy metoda badania znaku i rzędu dwóch symetrycznych wyznaczników są metodami uniwersalnymi klasyfikacji kwadryk .

Natomiast przedstawiona przez Pana metoda "przedszkolna" - Lagrange'a ma w tym zadaniu ma zasięg ograniczony.

No właśnie nie musi być symetryczna, może być krzywa XD
Dobra, znalazłam sposób macierzowy na diagnozowanie powierzchni. Trzeba napisać dwie macierze ze współczynników tej diabelskiej formuły, sprawdzić ich rzędy, w jednej policzyć wyznacznik, a w drugiej wartości własne.