Matematyka.pl

Tak. Najłatwiej te wyznaczniki utworzyć z macierzy kwadryki.

W naszym przykładzie:

\(\displaystyle{ A =\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 7& 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{matrix} \right] }\)

No i z tej macierzy liczymy wyznacznik (i dostajemy dwa z egzaminu, bo oczywiście jak zwykle zapomnieliśmy jak to się robi) i sprawdzamy znak. I potem robimy małą macierz \(\displaystyle{ a}\), która jest taka sama tylko bez czwartego wiersza i czwartej kolumny i z niej liczymy wartości własne. I potem przypominamy sobie jakie wyniki są do czego.
No widzicie? Poszczęściło nam się, dostaliśmy macierz symetryczną! Czyli co? Wektory własne \(\displaystyle{ A}\) są od razu prostopadłe??

EdIt: Dobra widzę.

Niepokonana pisze: ↑11 wrz 2022, o 17:02 No widzicie? Poszczęściło nam się, dostaliśmy macierz symetryczną!

Dla każdej formy kwadratowej \(f\) można napisać macierz symetryczną \(A\) taką, że \(f(v)=v^TAv\).

Niepokonana pisze: ↑11 wrz 2022, o 17:02 Czyli co? Wektory własne \(\displaystyle{ A}\) są od razu prostopadłe??

To jest fakt na tyle prosty, że możesz go poznać razem z dowodem. Jeśli \(v_1\) i \(v_2\) są wektorami własnymi o różnych wartościach własnych \(\lambda_1\) i \(\lambda_2\), to \(v_2^TAv_1=v_2^T\lambda_1 v_1= \lambda_1 v_2^T v_1\). Ale z symetryczności macierzy \(A\) ta sama liczba jest równa \((v_2^TAv_1)^T=v_1^TA^T v_2=v_1^T\lambda_2 v_2= \lambda_2 v_1^T v_2= \lambda_2 v_2^T v_1\). Po odjęciu stronami otrzymujemy \((\lambda_1-\lambda_2)v_2^T v_1=0\). Zatem \(v_2^T v_1=0\), co oznacza że wektory są prostopadłe.

Nadal jednak nie rozumiem, po co tu szukać wartości własnych. W tym zadaniu liczby są tak dobrane, że można to zrobić, ale przecież gdyby autor zadania nie był aż tak wielce uprzejmy, to bez kalkulatora tą metodą ciężko by było sobie poradzić. Zawsze natomiast można znaleźć przekształcenie afiniczne.

Mamy powierzchnię zadaną równaniem:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + v^T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=c}\)
Możemy dość łatwo znaleźć taką nieosobliwą macierz \(S\), że \(A=S^TDS\), gdzie \(D\) jest macierzą diagonalną. W ten sposób po podstawieniu nowych zmiennych
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}\tilde{x}\\\tilde{y}\\\tilde{z}\end{pmatrix} = S \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\)
dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}\tilde{x}&\tilde{y}&\tilde{z}\end{pmatrix} D \begin{pmatrix}\tilde{x}\\\tilde{y}\\\tilde{z}\end{pmatrix} + v^TS^{-1} \begin{pmatrix}\tilde{x}\\\tilde{y}\\\tilde{z}\end{pmatrix}=c}\)
skąd już łatwo widać, o jaką kwadrykę chodzi.

Gdybym ja układał zadania na egzamin, to raczej nie byłoby łatwo znaleźć wartości własnych, bo by mi się nie chciało znajdować odpowiedniej macierzy.

Jakie elementy są na diagonali ma macierzy \(\displaystyle{ D ?}\)

Z jakich elementów składa się macierz \(\displaystyle{ S ? }\)