Prosiłbym o pomoc - jak rozwiązywać takie układy metodą wyznaczników? Jak w ogóle liczy się wyznacznik?
Z góry Dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-y=7 \\ 3x+y=14 \\ 2x+3y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\2&0&0&-1\\-3&-1&1&1\\0&1&2&0\end{array}\right]}\)
jak rozwiązać układ równań metodą wyznaczników? Wyznacznik
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak rozwiązać układ równań metodą wyznaczników? Wyznacznik
Wyznacznik najlepiej jest liczyć metodą rozkładu LU albo metodą eliminacji
Gdy liczysz wyznacznik metodą eliminacji musisz pamiętać o
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi na głównej przekątnej
2. Zamiana wierszy zmienia znak wyznacznika
3. Dodanie elementów jednego wiersza do odpowiednich elementów innego wiersza nie
zmienia wartości wyznacznika
4. Pomnożenie wiersza przez skalar powoduje pomnożenie wartości wyznacznika przez ten skalar
5. Wyznacznik jest równy zero gdy wiersz jest zerowy lub gdy jest kombinacją liniową innych wierszy
Operacje możesz wykonywać również na kolumnach
Rozkład LU
1. Szukasz w kolumnie elementu o największej wartości bezwzględnej i
gdy znajdziesz zamieniasz wiersze
(ilość zamienianych wierszy musisz zliczać ponieważ pozwoli to Tobie ustalić znak wyznacznika)
2. Pierwszy wiersz przepisujesz bez zmian a
elementy pierwszej kolumny dzielisz przez \(\displaystyle{ a_{11}}\)
3. Obliczasz uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1} \cdot a_{1j}}\)
4. Powyższe kroki powtarzasz ale już dla mniejszej macierzy
Wartość wyznacznika będzie wynosiła
\(\displaystyle{ \det{A}= \left(-1 \right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
gdzie p to liczba przestawień wierszy
Rozkładu LU można dokonać jeszcze w ten sposób
mnożysz macierz dolnotrójkątnną i górnotrójkątną i porównujesz
z daną macierzą
Tak uzyskany układ równań łatwo jest obliczyć np metodą podstawiania
Tu na ważniaku masz chyba lepiej wyjaśniony rozkład LU
Tyle że jeżeli chcesz liczyć takie układy za pomocą wyznaczników to musisz je
sprowadzić do postaci Cramera
1. Liczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
Jeżeli są różne to układ sprzeczny i koniec zabawy
Jeżeli są równe to wybierasz podmacierz kwadratową stopnia r
gdzie r to rząd tych macierzy
Nadmiarowe niewiadome przenosisz do wektora wyrazów wolnych i traktujesz jako parametry
a nadmiarowe równania skreślasz
Gdy sprowadzisz układ równań do postaci Cramera to możesz użyć wyznaczników
Gdy liczysz wyznacznik metodą eliminacji musisz pamiętać o
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi na głównej przekątnej
2. Zamiana wierszy zmienia znak wyznacznika
3. Dodanie elementów jednego wiersza do odpowiednich elementów innego wiersza nie
zmienia wartości wyznacznika
4. Pomnożenie wiersza przez skalar powoduje pomnożenie wartości wyznacznika przez ten skalar
5. Wyznacznik jest równy zero gdy wiersz jest zerowy lub gdy jest kombinacją liniową innych wierszy
Operacje możesz wykonywać również na kolumnach
Rozkład LU
1. Szukasz w kolumnie elementu o największej wartości bezwzględnej i
gdy znajdziesz zamieniasz wiersze
(ilość zamienianych wierszy musisz zliczać ponieważ pozwoli to Tobie ustalić znak wyznacznika)
2. Pierwszy wiersz przepisujesz bez zmian a
elementy pierwszej kolumny dzielisz przez \(\displaystyle{ a_{11}}\)
3. Obliczasz uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1} \cdot a_{1j}}\)
4. Powyższe kroki powtarzasz ale już dla mniejszej macierzy
Wartość wyznacznika będzie wynosiła
\(\displaystyle{ \det{A}= \left(-1 \right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
gdzie p to liczba przestawień wierszy
Rozkładu LU można dokonać jeszcze w ten sposób
mnożysz macierz dolnotrójkątnną i górnotrójkątną i porównujesz
z daną macierzą
Tak uzyskany układ równań łatwo jest obliczyć np metodą podstawiania
Tu na ważniaku masz chyba lepiej wyjaśniony rozkład LU
Tyle że jeżeli chcesz liczyć takie układy za pomocą wyznaczników to musisz je
sprowadzić do postaci Cramera
1. Liczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
Jeżeli są różne to układ sprzeczny i koniec zabawy
Jeżeli są równe to wybierasz podmacierz kwadratową stopnia r
gdzie r to rząd tych macierzy
Nadmiarowe niewiadome przenosisz do wektora wyrazów wolnych i traktujesz jako parametry
a nadmiarowe równania skreślasz
Gdy sprowadzisz układ równań do postaci Cramera to możesz użyć wyznaczników