\(\displaystyle{ \ker A \cap \text{im} B = \{0\}.}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \ker(AB) = \ker B}\) oraz \(\displaystyle{ \text{im}((AB)^T) = \text{im}(B^T).}\)
Jakieś wskazówki do rozwiązania?Jądro i obraz macierzy
-
Augustyn Kaczmarek
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 3 gru 2023, o 22:08
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 11 razy
Jądro i obraz macierzy
Dane są macierze \(\displaystyle{ A, B \in \RR^{n,n}}\) takie, że
Ostatnio zmieniony 5 gru 2023, o 21:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Jądro i obraz macierzy
Równości \(\displaystyle{ \ker(AB) = \ker(B)}\) dowodzimy przez wykazanie dwóch zawierań. Jeśli \(\displaystyle{ x \in \ker(B)}\), to z definicji jądra \(\displaystyle{ Bx = 0}\) i stąd \(\displaystyle{ ABx = 0}\), tj. \(\displaystyle{ x \in \ker(AB)}\). W drugą stronę, załóżmy że \(\displaystyle{ x \in \ker(AB)}\). Wtedy \(\displaystyle{ ABx = 0}\). Wektor \(\displaystyle{ Bx}\) należy zarówno do \(\displaystyle{ \operatorname{\text{im}}(B)}\), jak i do \(\displaystyle{ \ker(A)}\), zatem z założenia \(\displaystyle{ Bx = 0}\). Stąd \(\displaystyle{ x \in \ker(B)}\).
Dowód drugiej równości idzie natychmiast z tożsamości: \(\displaystyle{ \ker( M )^{\bot} = \operatorname{\text{im}}(M^{\top})}\).
Dowód drugiej równości idzie natychmiast z tożsamości: \(\displaystyle{ \ker( M )^{\bot} = \operatorname{\text{im}}(M^{\top})}\).