Równości \(\displaystyle{ \ker(AB) = \ker(B)}\) dowodzimy przez wykazanie dwóch zawierań. Jeśli \(\displaystyle{ x \in \ker(B)}\), to z definicji jądra \(\displaystyle{ Bx = 0}\) i stąd \(\displaystyle{ ABx = 0}\), tj. \(\displaystyle{ x \in \ker(AB)}\). W drugą stronę, załóżmy że \(\displaystyle{ x \in \ker(AB)}\). Wtedy \(\displaystyle{ ABx = 0}\). Wektor \(\displaystyle{ Bx}\) należy zarówno do \(\displaystyle{ \operatorname{\text{im}}(B)}\), jak i do \(\displaystyle{ \ker(A)}\), zatem z założenia \(\displaystyle{ Bx = 0}\). Stąd \(\displaystyle{ x \in \ker(B)}\).
Dowód drugiej równości idzie natychmiast z tożsamości: \(\displaystyle{ \ker( M )^{\bot} = \operatorname{\text{im}}(M^{\top})}\).