Matematyka.pl

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR ^{2,2} }\) dane są macierze:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\1 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{2} = \left[ \begin{matrix}0 & 1\\0 & 1 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{3} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\0 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{4} = \left[ \begin{matrix}1 & 0\\1 & 1 \end{matrix}\right] }\)
Układ funkcjonałów \(\displaystyle{ g _{1} ^{*}, g _{2} ^{*}, g _{3} ^{*}, g _{4} ^{*} \in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest bazą dualną do bazy \(\displaystyle{ (A _{1}, A _{2}, A _{3} , A _{4} )}\). Funkcjonał \(\displaystyle{ f ^{*}\in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest dany wzorem:
\(\displaystyle{ f ^{*}(\left[ \begin{matrix}a _{1,1} & a _{1,2} \\a _{2,1} & a _{2,2} \end{matrix}\right]) = a _{1,1} + a _{1,2} + a _{2,1} + a _{2,2} }\).
Wyznacz liczby \(\displaystyle{ \beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3}, \beta _{4} \in \RR }\), takie że \(\displaystyle{ f ^{*} = \beta _{1}g _{1} ^{*} + \beta _{2}g _{2} ^{*} + \beta _{3}g _{3} ^{*} + \beta _{4}g _{4} ^{*} }\)

Wskazówka: zastosuj obie strony równości \(\displaystyle{ f^* = \beta_1 g_1^* + \beta_2 g_2^* + \beta_3 g_3^* + \beta_4 g_4^*}\) kolejno do macierzy \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ A_2}\), \(\displaystyle{ A_3}\), \(\displaystyle{ A_4}\).

Rozumiem, że do lewej strony równania podstawić
\(\displaystyle{ f ^{*}(A _{1}) }\), czyli \(\displaystyle{ 1 + 1 + 1 + 0 = 3}\).
Natomiast co do prawej strony? Niezbyt ogarniam cały ten temat.

Po prawej stronie będzie

\(\displaystyle{ \beta_1 g_1^*(A_1) + \beta_2 g_2^*(A_1) + \beta_3 g_3^*(A_1) + \beta_4 g_4^*(A_1)}\).

Teraz skorzystaj z definicji bazy dualnej:

\(\displaystyle{ g_i^*(A_j) = \begin{cases} 1 & \text{dla } i = j, \\ 0 & \text{dla } i \neq j. \end{cases}}\)

Czyli z pierwszego równania wychodzi \(\displaystyle{ 3 = 1*\beta _{1} + 0*\beta _{2} + 0*\beta _{3} + 0*\beta _{4}}\) ?

Dodano po 2 minutach 53 sekundach:
W takim razie \(\displaystyle{ \beta_{1} = 3, \beta_{2} = 2, \beta_{3} = 2, \beta_{4} = 3 }\)

Zgadza się.