Dane są operacje elementarne na wierszach macierzy:
(1) Zamiana miejscami wierszy \(\displaystyle{ i_1}\) oraz \(\displaystyle{ i_2}\)
(2) pomnożenie wiersza i'tego przez niezerowy skalar \(\displaystyle{ \alpha}\)
(3) Dodanie do wiersza \(\displaystyle{ i_1}\), wiersza \(\displaystyle{ i_2}\)pomnożonego przez skalar \(\displaystyle{ \beta}\)
Dana jest również macierz \(\displaystyle{ A^{m,n}}\).
Wykaż, że każdą z tych operacji elementarnych na wierszach można zrealizować mnożąc macierz A z lewej strony przez pewną nieosobliwą macierz \(\displaystyle{ E^{m,m}}\).
Dowody, macierze, operacje
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dowody, macierze, operacje
Niech \(\displaystyle{ E^{n}_{ij}(a), \ \ T^{n}_{ij}, \ \ I_{i}(c)}\) będą macierzami zdefiniowanymi następująco:
\(\displaystyle{ E^{n}_{ij}(a)= [a_{st}]\in M_{n\times n}(K),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} a, \ \ \mbox{gdy} \ \ s=i \ \ t=j \\ 1 \\ \mbox{gdy} \ \ s=t \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ T^{n}_{ij}= [a_{st}] \in M_{n\times n},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} 1, \ \ \mbox{gdy} \ \ s=t \neq i,j \ \ t=j \\ 1 \mbox{gdy} \ \ s=i \ \ t= j \ \ \mbox{lub} \ \ s=j \ \ t=i \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ I^{n}_{i}(c) = [a_{st}] \in M_{n\times n}(K),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} c, \ \ \mbox{gdy} \ \ s= t = i \\ 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ s=t \neq i \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
Macierze powyższe nazywamy macierzami operacji elementarnych.
Dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{n\times n}}\) zachodzi (proszę sprawdzić):
\(\displaystyle{ E^{n}_{ij}(a)\cdot A}\) - macierz powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\)przez dodanie do \(\displaystyle{ i-}\) tego wiersza \(\displaystyle{ j -}\) tego wiersza pomnożonego przaz \(\displaystyle{ a.}\)
\(\displaystyle{ T^{n}_{ij}\cdot A}\) - macierz powstała przez przestawienie \(\displaystyle{ i -}\) tego wiersza i \(\displaystyle{ j-}\) tego wiersza.
\(\displaystyle{ I^{n}_{i}(c) \cdot A}\) - macierz powstała przez pomnożenie \(\displaystyle{ i -}\) tego wiersza przez \(\displaystyle{ c.}\)
Uwaga
Zmieniając kolejność mnożenia w powyższych iloczynach - otrzymamy operacje elementarne na kolumnach macierzy \(\displaystyle{ A.}\)
\(\displaystyle{ E^{n}_{ij}(a)= [a_{st}]\in M_{n\times n}(K),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} a, \ \ \mbox{gdy} \ \ s=i \ \ t=j \\ 1 \\ \mbox{gdy} \ \ s=t \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ T^{n}_{ij}= [a_{st}] \in M_{n\times n},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} 1, \ \ \mbox{gdy} \ \ s=t \neq i,j \ \ t=j \\ 1 \mbox{gdy} \ \ s=i \ \ t= j \ \ \mbox{lub} \ \ s=j \ \ t=i \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ I^{n}_{i}(c) = [a_{st}] \in M_{n\times n}(K),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{st}= \begin{cases} c, \ \ \mbox{gdy} \ \ s= t = i \\ 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ s=t \neq i \\ 0 \ \ \mbox{w pozostalych przypadkach} \end{cases}}\)
Macierze powyższe nazywamy macierzami operacji elementarnych.
Dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{n\times n}}\) zachodzi (proszę sprawdzić):
\(\displaystyle{ E^{n}_{ij}(a)\cdot A}\) - macierz powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\)przez dodanie do \(\displaystyle{ i-}\) tego wiersza \(\displaystyle{ j -}\) tego wiersza pomnożonego przaz \(\displaystyle{ a.}\)
\(\displaystyle{ T^{n}_{ij}\cdot A}\) - macierz powstała przez przestawienie \(\displaystyle{ i -}\) tego wiersza i \(\displaystyle{ j-}\) tego wiersza.
\(\displaystyle{ I^{n}_{i}(c) \cdot A}\) - macierz powstała przez pomnożenie \(\displaystyle{ i -}\) tego wiersza przez \(\displaystyle{ c.}\)
Uwaga
Zmieniając kolejność mnożenia w powyższych iloczynach - otrzymamy operacje elementarne na kolumnach macierzy \(\displaystyle{ A.}\)