\(\displaystyle{ \ker(F)=\left\{\left.\begin{bmatrix}0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & -a_{13} & 0 \end{bmatrix}\right\vert a_{12},a_{13}\in\Bbb R\right\}.}\)
Teraz trzeba pokazać, że
\(\displaystyle{ (**) \left\{\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\right\};}\)
jest bazą \(\displaystyle{ \ker(F)}\), czyli te macierze są liniowo niezależne i \(\displaystyle{ \ker(F) = span((*))}\).Mój dowód:
Najpierw liniowa niezależność
\(\displaystyle{ (***) \; \alpha_1 \cdot \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \alpha_2 \cdot \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}= 0;}\)
gdy \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=0}\). To jest trywialne:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & \alpha_1 & 0 \\ -\alpha_1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0 & \alpha_2 \\ 0 & -\alpha_2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ -\alpha_1 & -\alpha_2 & 0 \end{bmatrix};}\)
Z tego widać, że warunek \(\displaystyle{ (***)}\) naprawde zachodzi gdy \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=0.}\)
Teraz \(\displaystyle{ \ker(F) = span((**))}\)
\(\displaystyle{ span(\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}0 & a & 0 \\ -a & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & b \\ 0 & -b & 0 \end{bmatrix} = }\)
\(\displaystyle{ = \begin{bmatrix}0 & a & b \\ -a & -b & 0 \end{bmatrix}}\)
Z tego widać, że \(\displaystyle{ \ker(F) = span((**))}\). Czyli \(\displaystyle{ (**) }\) jest bazą \(\displaystyle{ \ker(F)}\).Czy wszystko jest w porządku?
