Dla jakich wartości parametru a układ równań ma rozwiązania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Dla jakich wartości parametru a układ równań ma rozwiązania

Post autor: Klaudiuska88 »

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, nie rozwiązując uzasadnij.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y-z=2 \\ x+y-2z=6 \\ 2x+ay+z=1 \\ 3x-2y+2z=-3 \end{cases} }\)

liczba równań \(\displaystyle{ \neq}\) liczbie niewiadomych

Ja próbowałam coś z twierdzenia Capellego zrobić, ale nie wiem, jak to to rozwiązać.. bo ta macierz główna jest 4x3.

I znalazłam takie wyznaczniki:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2& -2& -1 \\ 1& 1 &-1 \\ 2& a& 1 \end{vmatrix} }\)

----> \(\displaystyle{ a= - \frac{14}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1& -2 \\ 2&a&1 \\ 3& -2&2 \end{vmatrix} }\)

----> \(\displaystyle{ a= - \frac{9}{8} }\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2& -2& -1 \\ 1&1& -2\\ 3& -2&2 \end{vmatrix} }\)

----> 17

A wyznacznika macierzy rozszerzonej \(\displaystyle{ (AB)= 17a-17}\), więc \(\displaystyle{ a = 1}\)

i doszłam jakby do tego, że dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus - \frac{9}{8} - \frac{14}{3} }\) ---> R(A)= 3 (macierz główna)
dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \{1\} ---> R(AB) = 4 }\)(rozszerzona macierz)
czyli sprzeczność ?
Ostatnio zmieniony 31 sty 2023, o 10:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Dla jakich wartości parametru a układ równań ma rozwiązania

Post autor: kerajs »

Układ ma szanse mieć rozwiązanie tylko wtedy gdy wyznacznik macierzy rozszerzonej będzie mniejszy od 4.

Policzyłaś:
Klaudiuska88 pisze: 31 sty 2023, o 01:26 A wyznacznika macierzy rozszerzonej \(\displaystyle{ (AB)= 17a-17}\), więc \(\displaystyle{ a = 1}\)
Oznacza to, że dla każdej innej wartości parametru niż \(\displaystyle{ a=1}\) układ jest sprzeczny.
Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ a=1}\) i ponownie zbadać rzędy macierzy głównej i rozszerzonej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dla jakich wartości parametru a układ równań ma rozwiązania

Post autor: a4karo »

Pytanie jest kiedy jest nieskończenie wiele rozwiązań. Ponieważ wyznacznik w pierwszego, drugiego i czwartego wiersza jest równy `17` odpowiedź brzmi: nigdy.
ODPOWIEDZ