Matematyka.pl

Dla jakich n macierz jest odwracalna nad pierścieniem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}}\)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}3&2&2 &\cdots&2&2\\3&3&2 &\cdots&2&2\\3&3&3 &\cdots&2&2 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\cdots&\vdots&\vdots\\ 3&3&3 &\cdots&3&2\\3&3&3 &\cdots&3&3 \end{array}\right]}\)

ok zrobiłem tak \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}3&2&2 &\cdots&2&2\\3&3&2 &\cdots&2&2\\3&3&3 &\cdots&2&2 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\cdots&\vdots&\vdots\\ 3&3&3 &\cdots&3&2\\3&3&3 &\cdots&3&3 \end{array}\right]\longrightarrow \left[\begin{array}{cccccc}0&-1&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0&0 &\cdots&-1&-1 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\cdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0 &\cdots&0&-1\\3&3&3 &\cdots&3&3 \end{array}\right]\longrightarrow \left[\begin{array}{cccccc}0&-1&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0&0 &\cdots&-1&-1 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\cdots&\vdots&\vdots \\0&0&0&\cdots &0&-1\\3&0&0&\cdots &0&0\end{array}\right]\longrightarrow}\)


teraz liczę wyznacznik:

\(\displaystyle{ 3 \cdot (-1)^{n+1} \cdot \left|\begin{array}{ccccc}-1&-1 &\cdots&-1&-1\\0&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0 &\cdots&\vdots&-1 \\ \vdots &\vdots &\cdots&-1&-1\\ 0&0 &\cdots&0&-1 \end{array}\right| =3 \cdot (-1)^{n+1} + (-1) \cdot (-1)^{n-1+1} \cdot \left|\begin{array}{ccccc}-1&-1 &\cdots&-1&-1\\-1&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0 &\cdots&\vdots&-1 \\ \vdots &\vdots &\cdots&-1&-1\\ 0&0 &\cdots&0&-1 \end{array}\right|{}\)



i tutaj już stanąłem, mam dalej liczyć z Laplace'a? Czy już widać dla jakiego n macierz jest odwracalna (ja nie widzę niestety).

ohrajt pisze:
teraz liczę wyznacznik:

\(\displaystyle{ 3 \cdot (-1)^{n+1} \cdot \left[\begin{array}{ccccc}-1&-1 &\cdots&-1&-1\\0&-1 &\cdots&-1&-1\\0&0 &\cdots&-1&-1 \\ \vdots &\vdots &\cdots&\vdots&\vdots\\ 0&0 &\cdots&0&-1\\0&0 &\cdots&0&0 \end{array}\right]}\)

A co to jest? Skąd tu się wzięła niekwadratowa macierz? I chyba chodzi o jej wyznacznik a nie o samą macierz.

To jest macierz kwadratowa, po prostu pomyłka w zapisie tex, za chwileczkę poprawię.

Ok. I czyż to nie jest macierz górna trójkątna?

W pierwszym kroku jest macierz górno trójkątna, natomiast w drugim kroku już nie jest gdyż wiersze 1 i 2 są takie same.

Po pierwsze, skoro w pierwszym kroku jest macierz trójkątna, to nie wiem, po co wykonujesz jeszcze jakieś kroki, zamiast stwierdzić, że wyznacznik jest równy iloczynowi liczb na przekątnej.

Po drugie, w drugim kroku masz dwa takie same wiersze, bo jednego z tych wierszy zapomniałeś wykreślić, gdy rozwijałeś ze wzoru Laplace'a.

Czyli :
\(\displaystyle{ det= 3\cdot (-1)^{n+1} \cdot (-1)^{n-1}=3\cdot (-1)^{2n}=3}\)

Zatem macierz będzie dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) odwracalna bo element \(\displaystyle{ 3}\) ma element odwrotny którym jest \(\displaystyle{ 7}\) dobrze myślę?

Zgadza się.