Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Czy prawdą jest, że w \(\displaystyle{ R^2}\) każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch dowolnych wektorów, pod warunkiem że są one wektorami niezależnymi?
Ostatnio zmieniony 8 paź 2014, o 11:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 291
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 55 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Każdy zbiór liniowo niezależny o mocy będącej mocą bazy jest również bazą - więc tak.
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Chciałbym prosić o matematyczny dowód tego twierdzenia, przeprowadzony w jak najprostszy sposób, albo chociaż o jakies wskazówki, gdyż nie wiem jak zapisać dwa wektory w taki sposób aby bylo jasne ze są niezalezne. Gdybym to potrafil dowód byłby o wiele prostszy.
Jak na razie mialem na zajęciach tylko pojecia takie jak niezależność liniowa i kombinacja liniowa.
Proszę o wsparcie.
Jak na razie mialem na zajęciach tylko pojecia takie jak niezależność liniowa i kombinacja liniowa.
Proszę o wsparcie.
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
No to zapisz co masz udowodnić i porównamy sobie współrzędne obu stron
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Fakt podany przez Dakurelsa jest prawdziwy w przestrzeniach skończenie wymiarowych (skończenie generowanych) i wynika on z dwóch innych faktów:
1. każdy zbiór liniowo niezależny da się uzupełnić do bazy,
2. każde dwie bazy jednej przestrzeni są równoliczne.
1. każdy zbiór liniowo niezależny da się uzupełnić do bazy,
2. każde dwie bazy jednej przestrzeni są równoliczne.
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Treść polecenia jest dokładnie taka:
Wykazać że jeśli wektory \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) należące do \(\displaystyle{ R^2}\) są liniowo niezależne, to każdy wektor w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1}\) , \(\displaystyle{ w_2}\) .
wziąłem \(\displaystyle{ V=[v_1 , v_2]}\), \(\displaystyle{ w_1=[ \alpha _1 , \alpha _2 ]}\) , \(\displaystyle{ w_2=[\beta _1 , \beta _2 ]}\)
i zacząłem sprawdzać że dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1}\) , \(\displaystyle{ a_2}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)
doszedłem do takiego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \alpha_1 + a_2 \beta_1 = v_1 \\ a_1 \alpha_2 + a_2 \beta_2 = v_2 \end{cases}}\)
Nie wiem jak mam tutaj pokazać że ten uklad ma rozwiązanie jeśli \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) są niezależne.
Nie wiem jeszcze co to bazy itp., miałem dopiero 2 wykłady z algebry i muszę to udowodnić w adekwatny sposób.
Macie jakieś pomysły?
Wykazać że jeśli wektory \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) należące do \(\displaystyle{ R^2}\) są liniowo niezależne, to każdy wektor w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1}\) , \(\displaystyle{ w_2}\) .
wziąłem \(\displaystyle{ V=[v_1 , v_2]}\), \(\displaystyle{ w_1=[ \alpha _1 , \alpha _2 ]}\) , \(\displaystyle{ w_2=[\beta _1 , \beta _2 ]}\)
i zacząłem sprawdzać że dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1}\) , \(\displaystyle{ a_2}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)
doszedłem do takiego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \alpha_1 + a_2 \beta_1 = v_1 \\ a_1 \alpha_2 + a_2 \beta_2 = v_2 \end{cases}}\)
Nie wiem jak mam tutaj pokazać że ten uklad ma rozwiązanie jeśli \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) są niezależne.
Nie wiem jeszcze co to bazy itp., miałem dopiero 2 wykłady z algebry i muszę to udowodnić w adekwatny sposób.
Macie jakieś pomysły?
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Ten układ równan nie jest rownowazny temu
\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)
Po poprawce jest.
Kiedy taki układ równan ma rozwiązanie?
\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)
Po poprawce jest.
Kiedy taki układ równan ma rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
To się sprowadza do układu liniowego więc wtedy gdy obie proste nie są równoległe.
Ale nadal nie wiem jak wykorzystać tutaj niezależność.
Ale nadal nie wiem jak wykorzystać tutaj niezależność.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Liniowa niezależność oznacza, że wyznacznik główny układu, który wypisałeś, jest niezerowy. Zastanów się, dlaczego tak jest.
Stąd już łatwo wywnioskować, że układ ma rozwiązanie, a więc teza jest prawdziwa.
Stąd już łatwo wywnioskować, że układ ma rozwiązanie, a więc teza jest prawdziwa.
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?
Doszedłem do czegoś takiego:
Układ równań nie ma rozwiązań tylko wtedy gdy
lub \(\displaystyle{ \beta_1=\alpha_1 \cdot k \wedge \alpha_2=\beta_2 \cdot k \wedge v_2 = v_1 \cdot p}\), gdzie \(\displaystyle{ p \neq k}\)
Z tego wynika że wektory \(\displaystyle{ w_1}\),\(\displaystyle{ w_2}\) musiałyby być równoległe, czyli zależne liniowo.
Z czego wniosek że skoro są niezależne liniowo to układ ma zawsze rozwiązanie.
Czy to będzie poprawny dowód?
Układ równań nie ma rozwiązań tylko wtedy gdy
lub \(\displaystyle{ \beta_1=\alpha_1 \cdot k \wedge \alpha_2=\beta_2 \cdot k \wedge v_2 = v_1 \cdot p}\), gdzie \(\displaystyle{ p \neq k}\)
Z tego wynika że wektory \(\displaystyle{ w_1}\),\(\displaystyle{ w_2}\) musiałyby być równoległe, czyli zależne liniowo.
Z czego wniosek że skoro są niezależne liniowo to układ ma zawsze rozwiązanie.
Czy to będzie poprawny dowód?