Matematyka.pl

Mam problem z następującym równaniem liczb zespolonych

\(\displaystyle{ \Im(z^2)=(2-i)z}\)

Udało mi się przekształcić je do następującej formy (x dla części rzeczywistej, y dla urojonej)

\(\displaystyle{ 2xy=2x+2yi-xi+y}\)

Która po wrzuceniu do Wolframa zwraca poprawny wynik, zgodnie z odpowiedziami w podręczniku:

\(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}, y=\frac{5}{4} \therefore z=\frac{5}{2}+\frac{5}{4}i}\)

Natomiast nie wiem jak przejść od przekształconej formy do wyniku

Skoro

\(\displaystyle{ 2xy=2x+2yi-xi+y,}\)

to

\(\displaystyle{ 2xy+0\cdot i=2x+y+(2y-x)\cdot i}\)

i porównując części rzeczywiste i części zespolone w powyższym równaniu dostajesz układ równań.

JK

Dziękuję, z tą sugestią rozwiązałem to zadanie następująco

\(\displaystyle{
\begin{align}
2xy&=2x+2yi-xi+y\\
2xy+0i&=2x+y+(2y-x)i\\
&\begin{cases}
0i=(2y-x)i &\vert \div i\\
2xy=2x+y
\end{cases}\\
&\begin{cases}
0=2y-x \\
2xy=2x+y
\end{cases}\\
&\begin{cases}
x=2y \\
(2y)^2=4y+y
\end{cases}\\
4y^2&=5y\\
4y^2-5y&=0\\
y(4y-5)&=0\\
y=0 \quad &\vee \quad y=\frac{5}{4}\\
\begin{cases}
y=0\\
x=0
\end{cases}
&\vee \quad
\begin{cases}
y=\frac{5}{4} \\
x=2y=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}
\end{cases}\\
z=0 \quad &\vee \quad z=\frac{5}{2}+\frac{5}{4}i
\end{align}
}\)

rozumiem że wyjściowe równanie można było podzielić w ten sposób ponieważ liczby zespolone są sobie równe, jeśli zarówno części rzeczywiste jak i urojone są sobie równe

kswr pisze: ↑29 sty 2024, o 19:55 rozumiem że wyjściowe równanie można było podzielić w ten sposób ponieważ liczby zespolone są sobie równe, jeśli zarówno części rzeczywiste jak i urojone są sobie równe

Tak.

JK