Matematyka.pl

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR^{(-2, 2)} }\) (wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : (−2, 2) \to \RR}\)) nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) rozważamy funkcje

\(\displaystyle{ f_1(x) = 1, f_2(x) = x, f_3(x) = \frac{1}{x-2}, f_4(x) = \frac{1}{x+2}, f_5(x) = \frac{1}{x^2-4}, f_6(x) = \frac{x}{x^2-4} }\).

Wyznacz bazy podprzestrzeni liniowych

\(\displaystyle{ U = \operatorname{\text{span}}(f_1 , f_2 , f_3 , f_4 , f_5 , f_6)}\)

oraz

\(\displaystyle{ V = \{f \in U : f(-1) - f(1) = f(0) = 0 \}}\)

Zauważmy najpierw, iż \(4f_5 = f_3 - f_4\) oraz \(2f_6 = f_3 + f_4\), a więc \(f_5\) i \(f_6\) są w podprzestrzeni liniowej generowanej przez \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) oraz \(f_4\).

Wektory \(f1\), \(f_2\), \(f_3\) oraz \(f_4\) są natomiast liniowo niezależne. Aby się o tym przekonać, ustalmy dowolne liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) oraz załóżmy, iż \(af_1(x) + bf_2(x) + cf_3(x) + df_4(x) = 0\) dla wszystkich \(-2 < x < 2\). Rozważając granice przy \(x \to -2\) oraz \(x \to 2\) ustalimy, iż muszą \(c = d = 0\). Wybierając następnie \(x = 0\) uzyskamy \(a = 0\), a wybierając wreszcie \(x = 1\) uzyskamy \(b = 0\).

Bazę czterowymiarowej przestrzeni \(U\) stanowią funkcje \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) i \(f_4\).

Co do drugiej części, w opisie przestrzeni \(V\) mamy dwa ewidentnie niezależne równania, każde z nich zmniejsza wymiar o jeden — przestrzeń \(V\) jest więc dwuwymiarowa. Zauważmy, iż \(f_5(-1) = f_5(1)\) i \(f_5(0) = -\frac{1}{4}\), a więc \(f_1 + 4f_5\) jest w przestrzeni \(V\). Co więcej, \(f_2(0) = f_6(0) = 0\), \(f_2(1) = 1\) i \(f_6(1) = -\frac{1}{3}\) oraz \(f_2(-1) = -1\) i \(f_6(-1) = \frac{1}{3}\). W takim razie \(f_2 + 3f_6\) jest w przestrzeni \(V\).
Zauważmy, iż skoro skoro funkcja \(f_1 + 4f_5\) jest parzysta a \(f_2 + 3f_6\) jest nieparzysta, to są one liniowo niezależne.

Bazę dwuwymiarowej przestrzeni \(V\) stanowią funkcje \(f_1 + 4f_5\) i \(f_2 + 3f_6\).