Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
akzn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy

Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Post autor: akzn »

Dana jest podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)
\(\displaystyle{ V = \left\{(x+3y+2z,x+2y+z,3y+3z): x,y,z \in \RR\right\} }\)
Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
Ostatnio zmieniony 23 sty 2023, o 23:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3820
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1301 razy

Re: Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ \begin{equation}
\begin{split}
V & = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}3 \\2 \\ 3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}1+2 \\1+1 \\ 0+3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} (x+y)+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}(z+y) : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} \alpha + \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \beta : \alpha , \beta \in\RR\right\} \\[2ex]
& = \text{span}\, \left\langle \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\rangle.
\end{split}
\end{equation}}\)
ODPOWIEDZ