Dana jest podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)
\(\displaystyle{ V = \left\{(x+3y+2z,x+2y+z,3y+3z): x,y,z \in \RR\right\} }\)
Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej
-
akzn
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej
Ostatnio zmieniony 23 sty 2023, o 23:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ \begin{equation}
\begin{split}
V & = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}3 \\2 \\ 3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}1+2 \\1+1 \\ 0+3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} (x+y)+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}(z+y) : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} \alpha + \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \beta : \alpha , \beta \in\RR\right\} \\[2ex]
& = \text{span}\, \left\langle \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\rangle.
\end{split}
\end{equation}}\)
\begin{split}
V & = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}3 \\2 \\ 3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix}1+2 \\1+1 \\ 0+3 \end{bmatrix} y+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}z : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} (x+y)+ \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix}(z+y) : x,y,z\in\RR\right\} \\[2ex]
& = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} \alpha + \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \beta : \alpha , \beta \in\RR\right\} \\[2ex]
& = \text{span}\, \left\langle \begin{bmatrix}1 \\1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\rangle.
\end{split}
\end{equation}}\)