Matematyka.pl

Endomorfizm \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) dany jest wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,z) = (2x+2y,y,-2x-2y-z), (x,y,z) \in \mathbb{R}^3}\).
a) Zbadaj czy istnieje baza przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), w której macierz \(\displaystyle{ f}\) jest macierzą diagonalną.
b) O ile to możliwe, wyznacz tę bazę oraz odpowiadającą jej macierz diagonalną.
Moim pomysłem jest zapisanie trzech układów równań postaci:
\(\displaystyle{
\begin{cases}2x+2y \neq 0 \\
y = 0 \\ -2x-2y-z = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+2y=0 \\ y \neq 0 \\ -2x-2y-z = 0\end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{
\begin{cases}2x+2y = 0 \\ y = 0 \\ -2x-2y-z \neq 0\end{cases}}\)
Sprawdzić czy nie znajdują się w nich żadne sprzeczności, jeżeli nie to znaczy, że istnieje taka baza.
Następnie rozwiązać te układy pamiętając o warunkach w nich zawartych, np. w pierwszym układzie y = 0, x = 1 (lub dowolna liczba ≠ 0) i na tej podstawie policzyć z, zrobić tak dla każdego układu.
Czy mój tok rozumowania jest poprawny? Jeżeli tak, to czy można to zadanie wykonać sprawniej?

Znaleźć wartości i wektory własne.

JK

\begin{bmatrix}
2-λ & 2 & 0 \\
0 & 1-λ & 0 \\
-2 & -2 & -1-λ
\end{bmatrix}
dla \(\displaystyle{ λ = 2}\) wektor własny to \(\displaystyle{ \left( 1,0, \frac{-2}{3}\right) }\)
dla \(\displaystyle{ λ = 1}\) wektor własny to \(\displaystyle{ (-2,1,1)}\)
dla \(\displaystyle{ λ = -1}\) wektor własny to \(\displaystyle{ (0,0,1)}\)
Rozumiem, że ostateczna odpowiedź to:
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & 1 & 1
\end{bmatrix} ?

akzn pisze: ↑15 sty 2023, o 19:59Czy mój tok rozumowania jest poprawny?

Nie jest. Podane układy mają rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy do obrazu \(\displaystyle{ f}\) należą \(\displaystyle{ e_1, e_2, e_3}\) odpowiednio. W ten sposób możesz najwyżej sprawdzić, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na", ale nie wynika stąd, czy macierz się diagonalizuje.

akzn pisze: ↑15 sty 2023, o 21:27Rozumiem, że ostateczna odpowiedź to:
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & 1 & 1
\end{bmatrix} ?

Tak, plus odpowiadająca macierz diagonalna (wartości własne na przekątnej w tej samej kolejności).