Jak rozwiązać zadanie typu:
Znaleźć działanie \(\displaystyle{ \diamondsuit}\) na zbiorze \(\displaystyle{ G = \{0,1,2,3,4,5\}}\), takie, żeby \(\displaystyle{ \left( G,\diamondsuit\right)}\) było nieprzemienną grupą.
Rozumiem, że musimy znaleźć działanie na \(\displaystyle{ G}\) spełniające takie warunki:
- Dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in G}\), wynik \(\displaystyle{ a \diamondsuit b}\) musi znajdować się w \(\displaystyle{ G}\)
- Łączność: Dla każdego \(\displaystyle{ a,b,c \in G\ (a \diamondsuit b) \diamondsuit c = a \diamondsuit (b \diamondsuit c)}\)
- \(\displaystyle{ a \diamondsuit e = a}\) oraz \(\displaystyle{ e \diamondsuit a = a}\), \(\displaystyle{ e \in G}\)
- Dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) istnieje takie \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a \diamondsuit b = e}\) oraz \(\displaystyle{ b \diamondsuit a = e}\)
- \(\displaystyle{ a \diamondsuit b \neq b \diamondsuit a}\)
Czy można rozwiązać to poprzez narysowanie tabelki działania \(\displaystyle{ \diamondsuit}\), z której wynika np., że \(\displaystyle{ 0}\) to element neutralny, każdy element jest odwrotny do samego siebie, nie ma przemienności? Jak wtedy zadbać by spełniona była łączność?
Czy może jest jakiś inny lepszy sposób niż tabelka?
Znajdywanie działania na zbiorze
Znajdywanie działania na zbiorze
Ostatnio zmieniony 13 lis 2021, o 12:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Znajdywanie działania na zbiorze
Jest tylko jedna sześcioelementowa grupa nieabelowa (z dokładnością do izomorfizmu), czyli grupa grupa permutacji zbioru trzyelementowego \(\displaystyle{ S_3.}\) Jest zatem jedyny sposób, w jaki możesz zdefiniować działanie \(\displaystyle{ \diamondsuit}\). Najprościej ustalić bijekcję pomiędzy zbiorem \(\displaystyle{ G}\) a \(\displaystyle{ S_3}\) i przenieść strukturę.
JK