Witam mam problem z zadaniem:
Zanurzyć izomorficznie grupę czwórkową Kleina w grupie \(\displaystyle{ S_n}\) o możliwie najmniejszym \(\displaystyle{ n}\).
Otóż rozpisałam grupę czwórkową Kleina jako: \(\displaystyle{ V_{4} =\left\{e,a,b,ab \right\} }\) oraz zrobiłam tabelę działań. Nie wiem co dalej, dlatego prosiłabym o pomoc.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2020, o 20:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Ponadto w czwórce Kleina nie ma elementu rzędu \(4\), wszystkie elementy oprócz neutralnego mają rząd \(2\). Rząd elementu w podgrupie jest taki sam jak rząd elementu w grupie.
Ponadto czwórka Kleina nie jest cykliczna. Więc jest generowana przez dwa elementy: \(a,b\). Znajdź więc w \(S_4\) dwa elementy rzędu \(2\). Zauważ, że rząd \(2\) mają transpozycje. No więc weź dwie transpozycje: \(\sigma_1=(1,2)\) oraz \(\sigma_2=(3,4)\). Jakie są działania na nich? Jaki jest rząd elementu \(\sigma_1\circ\sigma_2?\) Jaka jest więc podgrupa \(\langle\sigma_1,\sigma_2\rangle?\)
szw1710 pisze: 20 lis 2020, o 23:21
Ponadto w czwórce Kleina nie ma elementu rzędu \(4\), wszystkie elementy oprócz neutralnego mają rząd \(2\). Rząd elementu w podgrupie jest taki sam jak rząd elementu w grupie.
Ponadto czwórka Kleina nie jest cykliczna. Więc jest generowana przez dwa elementy: \(a,b\). Znajdź więc w \(S_4\) dwa elementy rzędu \(2\). Zauważ, że rząd \(2\) mają transpozycje. No więc weź dwie transpozycje: \(\sigma_1=(1,2)\) oraz \(\sigma_2=(3,4)\). Jakie są działania na nich? Jaki jest rząd elementu \(\sigma_1\circ\sigma_2?\) Jaka jest więc podgrupa \(\langle\sigma_1,\sigma_2\rangle?\)
Rozpisałam podgrupy grupy \(\displaystyle{ S _{4} }\) następująco: \(\displaystyle{
\left( abcd \right)^{0}=e ,\
\left( abcd \right)^{1} =\left( abcd\right) ,\
\left( abcd \right) ^{2} =\left( ac\right) \left( bd\right) ,\
\left( abcd \right)^{3} =\left( adcb\right) , \
\left( abcd \right) ^{4}=\left( abcd\right) \
}\)
Wnioskuję, że rząd 2 mają elementy:\(\displaystyle{ \left( ac\right) \left( bd\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( adcb\right) }\)
Wydaje mi się, że złożenie permutacji \(\displaystyle{ \left( 1,2\right) oraz \left( 3,4\right) }\)da nam \(\displaystyle{ \left( 1,2,3,4\right)}\), której rząd będzie wynosił 1?
szw1710 pisze: 21 lis 2020, o 14:30
Właśnie tak. Masz więc tę czwórkę Kleina jako podgrupę \(S_4\)? Zły zapis. Złożeniem permutacji \((1,2)\) i \((3,4)\) jest permutację \((1,2)(3,4)\).
hmmmm, poprawię to złożenie, więc teraz jak wygląda "zanurzenie izomorficzne"?
To złożenie ma rząd dwa, a nie – tak jak piszesz – jeden. A zanurzenie izomorficzne polega na przypasowaniu do siebie odpowiednich elementów.
Wystarczy \(a\mapsto(1,2)\), \(b\mapsto(3,4)\), a żebyśmy mieli izomorfizm, trzeba elementowi \(ab\) przypisać jeszcze jedną permutację. Nie ma zbyt wiekiego wyboru.
szw1710 pisze: 21 lis 2020, o 16:02
To złożenie ma rząd dwa, a nie – tak jak piszesz – jeden. A zanurzenie izomorficzne polega na przypasowaniu do siebie odpowiednich elementów.
Wystarczy \(a\mapsto(1,2)\), \(b\mapsto(3,4)\), a żebyśmy mieli izomorfizm, trzeba elementowi \(ab\) przypisać jeszcze jedną permutację. Nie ma zbyt wiekiego wyboru.
trochę nie rozumiem na jakiej zasadzie mogę przypisać te permutacje
