Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą rzędu \(\displaystyle{ 168}\). Udowodnić, że grupy \(\displaystyle{ G}\) nie można zanurzyć w grupę symetryczną \(\displaystyle{ S_6}\). Pokazać, że jeśli grupa \(\displaystyle{ G}\) jest prosta, to ma \(\displaystyle{ 8}\) podgrup rzędu \(\displaystyle{ 7}\) i można ją zanurzyć w grupę \(\displaystyle{ S_8}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ G}\) nie zanurza się w grupę \(\displaystyle{ S_6}\), bo rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) nie dzieli rzędu grupy \(\displaystyle{ S_6}\).

Następnie, jeśli założymy, że \(\displaystyle{ G}\) jest prosta, to z twierdzenia Sylowa wynika, że liczba podgrup rzędu \(\displaystyle{ 7}\) w \(\displaystyle{ G}\) z jednej strony jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{7} |G|=24}\), z drugiej zaś daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\). Wobec tego liczba tych podgrup jest równa \(\displaystyle{ 8}\) (nie może być tylko jedna, bo wtedy byłaby ona normalna, co stoi w sprzeczności z prostotą). Grupę \(\displaystyle{ G}\) możemy homomorficznie odwzorować w grupę bijekcji zbioru podgrup rzędu \(\displaystyle{ 7}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) - każdemu elementowi \(\displaystyle{ g \in G}\) przypisujemy bijekcję \(\displaystyle{ \phi(g)}\), która podgrupie \(\displaystyle{ H}\) przypisuje podgrupę \(\displaystyle{ gHg^{-1}}\). Z twierdzenia Sylowa wszystkie podgrup rzędy \(\displaystyle{ 7}\) są sprzężone w \(\displaystyle{ G}\), więc \(\displaystyle{ \phi}\) jest nietrywialne. Z prostoty grupy \(\displaystyle{ \phi}\) jest zanurzeniem, co kończy dowód