Matematyka.pl

dzisiaj miałam egzamin i miałam takie zadanie:

Pokaż, że przekrztałcenie φ:R*-->R φ(x) = ln |x| jest homomorfizmem grupy multiplakatywnej (R*, *) w addytywna (R,+). wyznacz Ker φ i Im φ ??: dla mnie to jakies dziwne bardzo;/

\(\displaystyle{ \forall x,y\in R^* \quad \varphi(x\cdot y)=\varphi (x)+\varphi (y)}\)
Wezmy dowolne dwa elementy z \(\displaystyle{ R^*}\)
\(\displaystyle{ \varphi(x\cdot y)=ln|x\cdot y|=ln|x|+ln|y|=\varphi (x) +\varphi (y)}\)
Zatem przeksztalcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) jest homomorfizmem grup.

Okreslmy:
\(\displaystyle{ Ker\varphi=\{x\in R^*, \varphi(x)=0\}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ ln|x|=0\\e^0=|x|\\|x|=1\\x=1 x=-1}\)
\(\displaystyle{ Ker\varphi=\{x\in R^*, \varphi(x)=0\}=\{-1,1\}}\)
Natomiast:
\(\displaystyle{ Im\varphi=\{\varphi(x), x\in R^*\}=R}\)

wielkie dzieki za to zadanie... dopiero teraz to zrozumiałam... masakra jaka ja jestem niedouczona.. jeszcze raz wielkie thx