Matematyka.pl

Mam pewien kłopot z dowodem Twierdzenia, które brzmi następująco:
Niech A będzie pierścieniem całkowitym i niech f є A[X]
\(\displaystyle{ f(x) =a _{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} , a _{n} ≠ 0;}\) Dla każdych elementów \(\displaystyle{ c_{1} , c_{2} ,..., c_{n} \in A}\)równość
\(\displaystyle{ f(x) = a_{n}(x-c_{1})...(x-c_{n})}\) jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następujące równości zwane wzorami Viete'a:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} c_{n} = - a_{n-1}/ a_{n}

\sum_{1 \le i \le j \le n}^{n} c_{i}c_{j}= a_{n-2}/ a_{n}

\sum_{1 \le i \le j \le k}^{n} c_{i}c_{j}c_{k}= - a_{n-3}/ a_{n}}\)

ogólnie: \(\displaystyle{ \sum_{1 \le i_{1} \le i_{2} \le ... \le i_{k} \le n}^{n} c_{i_{1}} c_{i_{2}}... c_{i_{k}}= (-1)^{k} a_{n-k}/ a_{n}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ c_{1}c_{1}c_{1}...c_{1}=(-1)^{n} a_{0}/a_{n}}\)
Wiem jak to zrobić nieindukcyjnie z tw.Bezout'a i normalnie po obliczeniach dla n=2, n=3 i n=4 po prostu uogólniam jakąś prawidłowość, ale przecież to nie jest dowód...
Przy indukcji zatrzymuję się już na 2 etapie rozwiązania, \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)
Help...

Jak wiemy, że wzory zachodzą dla \(\displaystyle{ n,}\) to rozważmy wielomian:
\(\displaystyle{ a_{n+1}(x - c_{1})\cdot\ldots\cdot (x - c_{n})(x - c_{n+1}) = a_{0} + \ldots + a_{n+1}x^{n+1}}\)
Z założenia indukcyjnego dla:
\(\displaystyle{ (x - c_{1})\cdot\ldots\cdot (x - c_{n}) = b_{0} + \ldots + b_{n-1}x^{n-1} + x^{n}}\)
jest:
\(\displaystyle{ \sum_{i_{1}< \ldots < i_{k}}^{n}c_{i_{1}}\cdot \ldots\cdot c_{i_{k}} = (-1)^{k}b_{n-k}.}\)
Stąd dla \(\displaystyle{ 1\le k\le n}\):
\(\displaystyle{ \sum_{i_{1}< \ldots < i_{k}}^{n+1}c_{i_{1}}\cdot \ldots\cdot c_{i_{k}} =\\
= \sum_{i_{1}< \ldots < i_{k}}^{n}c_{i_{1}}\cdot \ldots\cdot c_{i_{k}} + \sum_{i_{1}< \ldots < i_{k-1}}^{n}c_{i_{1}}\cdot \ldots\cdot c_{i_{k-1}}c_{n+1} =\\
= (-1)^{k}(b_{n-k} - c_{n+1}b_{n-k+1})}\)
a dla \(\displaystyle{ k = n+1}\)
\(\displaystyle{ c_{1}\cdot\ldots\cdot c_{n+1} = (-1)^{n}b_{0}c_{n+1}}\)
Ale:
\(\displaystyle{ a_{n+1}(x - c_{1})\cdot\ldots\cdot (x - c_{n})(x - c_{n+1}) = a_{n+1}(x - c_{n+1})(b_{0} + \ldots + b_{n-1}x^{n-1} + x^{n}) = \\
=a_{n+1}(-c_{n+1}b_{0} + (b_{0} - c_{n+1}b_{1})x + \ldots + (b_{n-1} - c_{n+1}b_{n})x^{n} +x^{n+1})}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n-k} = a_{n+1}(b_{n-k} - c_{n+1}b_{n-k+1}), \ 1\le k \le n-1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{0} = -a_{n+1}c_{n+1}b_{0}}\) co kończy dowód.

O! wielkie dziękuję:)
hmm..Nie bardzo rozumiem ostatnich wywodów tzn.ost.linijki oraz tego skąd się z jednej sumy wzięły dwie.. muszę to "przegryźć"..
ps. max - proszę, gdybyś mógł wytłumaczyć te kwestie, będę dźwięczna;)
ps2.- czekam również na inne osoby

Ostatnia linijka - porównujemy współczynniki równych wielomianów:
\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}x+\ldots + c_{n+1}x^{n+1}}\)
i tego wielomianu co to wyszedł nam na końcu.
Dwa w jednym bierze się z tego, że w jednej sumie zgrupowaliśmy składniki, w których nie ma czynnika \(\displaystyle{ a_{n+1},}\) a w drugiej te, w których ten składnik się pojawia.

dziekuje ślicznie:)