Matematyka.pl

Wyznaczyć warstwy grupy \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) względem poniższej podgrupy: \(\displaystyle{ \left\{0\right\}\!,\left\{0,4,8\right\}\!,\left\{0,3,6,9\right\}\!,\,\ZZ_{12}}\) oraz warstwy grupy \(\displaystyle{ \RR^{*}}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ \RR_{+}}\) .

a) Niech \(\displaystyle{ H = \left\{ 0\right\}}\) i \(\displaystyle{ H < \ZZ_{12}}\)
I o ile pamiętam z wykładu (mieliśmy tylko jeden wykład, a 3 ćwiczenia) warstwa, to coś jak klasa abstrakcji, więc pytają nas o te elementy z grupy, które są w relacji z elementami podgrupy.

W tym wypadku będą to wszystkie elementy, czyli: \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}}\) , bo \(\displaystyle{ 0}\) dzieli wszystkie te liczby.

Na razie tylko ten przykład zrobiłem, bo pewnie źle myślę.

Rozbitek pisze: warstwa, to coś jak klasa abstrakcji, więc pytają nas o te elementy z grupy, które są w relacji z elementami podgrupy.

Tak, dobrze rozumujesz. Wyznaczając podział na warstwy względem jakiejś podgrupy zawsze otrzymujemy podzbiory rozłączne, które sumują się do danej grupy. Ponadto podzbiory te są równoliczne.
A czy wiesz o jaką relację równoważności chodzi?

Rozbitek pisze: W tym wypadku będą to wszystkie elementy, czyli: \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}}\) , bo \(\displaystyle{ 0}\) dzieli wszystkie te liczby.

Tak, ten przykład jest dobrze. Zgodnie z definicją warstwy grupy względem podgrupy, bierzemy kolejne elementy z grupy i wykonujemy działanie (tutaj chodzi o dodawanie modulo 12) z kolejnymi elementami podgruoy.

Rozbitek pisze:W tym wypadku będą to wszystkie elementy, czyli: \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}}\) , bo \(\displaystyle{ 0}\) dzieli wszystkie te liczby.

\(\displaystyle{ 0}\) nie dzieli wszystkich liczb, poza tym czym jest zbiór, który napisałeś?

Np. względem podgrupy:

\(\displaystyle{ A= \left\{ 0,4,8\right\}}\) - warstwy to:

\(\displaystyle{ \left\{ 0,4,8\right\} \left\{ 1,5,9\right\} \left\{ 2,6,10\right\} \left\{ 3,7,11\right\}}\)

Jest ich cztery i to nie jest przypadek, a ponieważ podgrupa A jest normalna to warstwy te tworzą grupę.

bo 0 dzieli wszystkie te liczby.

A co to za lapsus słowny?

Na razie tylko ten przykład zrobiłem, bo pewnie źle myślę.

Właściwie to nie zrobiłeś żadnego przykładu...

Oczywiście wszystkie liczy dzielą zero, nie odwrotnie.

Dasio11 pisze:

Rozbitek pisze:W tym wypadku będą to wszystkie elementy, czyli: \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}}\) , bo \(\displaystyle{ 0}\) dzieli wszystkie te liczby.

\(\displaystyle{ 0}\) nie dzieli wszystkich liczb, poza tym czym jest zbiór, który napisałeś?

Ten zbiór jest zbiorem dwunastoelementowym składających się z kolejnych liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\)do \(\displaystyle{ 12}\) .

Poszukujaca pisze:Zgodnie z definicją warstwy grupy względem podgrupy, bierzemy kolejne elementy z grupy i wykonujemy działanie (tutaj chodzi o dodawanie modulo 12) z kolejnymi elementami podgrupy.

Dodawanie modulo, ale co dodajemy do czego i jaką mamy resztę?

arek1357 pisze:

Na razie tylko ten przykład zrobiłem, bo pewnie źle myślę.

Właściwie to nie zrobiłeś żadnego przykładu...

Tak właśnie myślałem :/

Rozbitek pisze:Ten zbiór jest zbiorem dwunastoelementowym składających się z kolejnych liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\)do \(\displaystyle{ 12}\).

To inaczej: jeśli ten zbiór jest odpowiedzią na pytanie, to jest źle, bo podział na podgrupy powinien być zbiorem podzbiorów grupy, a nie zbiorem jej elementów (poza tym \(\displaystyle{ 12 \notin \ZZ_{12}}\)), a jeśli ten zbiór nie jest odpowiedzią, to nie podałeś odpowiedzi.

W takim razie, chyba nie wiem co to \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) .

W takim razie, chyba nie wiem co to \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) .

Właśnie tego trzeba się nauczyć, co można mówić o warstwach, grupach jeśli nie znasz pierścienia reszt modulo..., a w tym wypadku nawet grupy addytywnej ...

Grupa addytywna, to wiem co to jest.

Pierścień reszt modulo. Tak czytam, to wikipedia, to jakieś artykuły i właściwie, to nie wiem z czego ma być ta reszta.
Zrozumiałem, że \(\displaystyle{ A}\) w relacji z \(\displaystyle{ 12}\) daje modulo \(\displaystyle{ n}\)
Czyli tutaj
\(\displaystyle{ aR12\mod0}\)

W takim razie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą \(\displaystyle{ \NN}\) , ale z definicji musi być w \(\displaystyle{ H}\) , więc co wartwa jest tylko jedna:
\(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) ?

Strasznie zawile, to powiedziałem, ale to pokazuje co mam w głowie, nic z tego lepszego nie sklecę, tyle zrozumiałem z netu, a na wykładzie to z tego było tylko o grupie addytywnej.

Grupa \(\displaystyle{ (\ZZ_{12}, \oplus)}\) to zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_{12} = \{ 0, 1, \ldots, 11 \} = \{ i \in \NN : i < 12 \}}\) z działaniem \(\displaystyle{ \oplus}\) określonym następująco:

\(\displaystyle{ a \oplus b = (a+b) \mod 12 = \begin{cases} a+b & \text{jeśli } a+b < 12 \\ a+b-12 & \text{jeśli } a+b \ge 12 \end{cases}}\)

Powyższa struktura spełnia aksjomaty grupy przemiennej. Można do niej dołożyć działanie \(\displaystyle{ \odot}\) mnożenia modulo \(\displaystyle{ 12}\) , otrzymując pierścień, ale nie jest to istotne w tym zadaniu.

1. Czy potrafisz uzasadnić, że podane w zadaniu podzbiory są podgrupami \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) ?

2. Dla podgrupy \(\displaystyle{ H \le \ZZ_{12}}\) ilorazem \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) przez \(\displaystyle{ H}\) (lub inaczej zbiorem warstw) nazywamy:

\(\displaystyle{ \ZZ_{12} / H = \{ a + H : a \in \ZZ_{12} \}}\) ,

gdzie \(\displaystyle{ a+H = \{ a+h : h \in H \}}\) . Iloraz jest więc rodziną podzbiorów grupy \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) (które nazywamy warstwami podgrupy \(\displaystyle{ H}\) ).

Spróbuj zastosować tę definicję do podgrupy \(\displaystyle{ H = \{ 0 \} \le \ZZ_{12}}\) i zobacz, co wyjdzie.

1. \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\) posiada element odwrotny względem dodawania, którym jest \(\displaystyle{ 0}\) .
\(\displaystyle{ 0+0 = 0, \; 0 \in H}\) , jest.
\(\displaystyle{ \{ 0, 4, 8 \}}\) jest podgrupą, bo działanie nigdy nam nie wyprowadzi z podgrupy, a elementy odwrotne do \(\displaystyle{ \{ 4\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 4\}}\) .
Trzeci podzbiór analogiczny.

2. Nie mam pomysłu...

Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \{ 0 \}}\) posiada element odwrotny względem dodawania, którym jest \(\displaystyle{ 0}\) .
[...]
elementy odwrotne do \(\displaystyle{ \{ 4\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 4\}}\)

Tylko dla elementów grupy można mówić o elemencie odwrotnym. \(\displaystyle{ \{ 0 \}, \{ 4 \}, \{ 8 \}}\) nie są elementami grupy, tylko jej podzbiorami. Powinno być: elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ 0}\) , do \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) , do \(\displaystyle{ 8}\) jest \(\displaystyle{ 4}\) .

Rozbitek pisze:2. Nie mam pomysłu...

A próbowałeś podstawić?

Definicja: \(\displaystyle{ \ZZ_{12}/H = \{ a + H : a \in \ZZ_{12} \}}\)

Podgrupy:

(i) \(\displaystyle{ H = \{ 0 \}}\)
(ii) \(\displaystyle{ H = \{ 0, 4, 8 \}}\)
(iii) \(\displaystyle{ H = \{ 0, 3, 6, 9 \}}\)

Dasio11 pisze:

Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \{ 0 \}}\) posiada element odwrotny względem dodawania, którym jest \(\displaystyle{ 0}\) .
[...]
elementy odwrotne do \(\displaystyle{ \{ 4\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ \{ 8\}}\) i \(\displaystyle{ \{ 4\}}\)

Tylko dla elementów grupy można mówić o elemencie odwrotnym. \(\displaystyle{ \{ 0 \}, \{ 4 \}, \{ 8 \}}\) nie są elementami grupy, tylko jej podzbiorami. Powinno być: elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ 0}\) , do \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) , do \(\displaystyle{ 8}\) jest \(\displaystyle{ 4}\) .

Prawda, dziękuję!

Dasio11 pisze: A próbowałeś podstawić?

Definicja: \(\displaystyle{ \ZZ_{12}/H = \{ a + H : a \in \ZZ_{12} \}}\)

Podgrupy:

(i) \(\displaystyle{ H = \{ 0 \}}\)
(ii) \(\displaystyle{ H = \{ 0, 4, 8 \}}\)
(iii) \(\displaystyle{ H = \{ 0, 3, 6, 9 \}}\)

(i) \(\displaystyle{ H = \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}, \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 4\right\}, \left\{ 5\right\}, \left\{ 6\right\}, \left\{ 7\right\}, \left\{ 8\right\}, \left\{ 9\right\}, \left\{ 10\right\}, \left\{ 11\right\}}\) ?

Zapomniałeś o \(\displaystyle{ 0 + \{ 0 \} = \{ 0 \}}\) (sama podgrupa też zawsze jest warstwą), reszta w porządku.

W takim razie:

\(\displaystyle{ (ii) H = \{ 0, 4, 8 \}}\)

\(\displaystyle{ \{ 0, 4, 8 \}, \{ 1, 5, 9 \}, \{ 2, 6, 10 \}, \{ 3, 7, 11 \}}\)

\(\displaystyle{ (iii) H = \{ 0, 3, 6, 9 \}}\)

\(\displaystyle{ \{ 0, 3, 6, 9 \}, \{ 1, 4, 7, 10 \}, \{ 2, 5, 8, 11 \}}\)
?