Wykazać, że struktura jest ciałem

powerfullspace · Post autor: **powerfullspace** » 11 lis 2023, o 18:04

Cześć, mam pytanie do tego zadania.

Mianowicie mam problem z wyznaczeniem elementu neutralnego drugiego działania (kropka w kółku). Wychodzi mi ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{a+2b} }\) dla pierwszego elementu pary (a,b) oraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} }\) dla elementu b tejże pary. Oczywiście liczby w mianowniku pozbawiają możliwości dowolnego wybrania elementów a i b, a zatem nie dla każdego elementu będzie istniał element neutralny. Należy wykazać, że dana struktura jest ciałem i ewidentnie coś jest u mnie źle zrobione. Dlatego sięgam po pomoc.

Z góry dziękuję!

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 11 lis 2023, o 18:33

powerfullspace pisze: ↑11 lis 2023, o 18:04 Wychodzi mi ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{a+2b} }\) dla pierwszego elementu pary (a,b) oraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} }\) dla elementu b tejże pary. Oczywiście liczby w mianowniku pozbawiają możliwości dowolnego wybrania elementów a i b, a zatem nie dla każdego elementu będzie istniał element neutralny.

Może pokażesz jak rozumujesz? Element neutralny (zarówno dla dodawania jak i mnożenia) wyraża się w tym przypadku konkretnymi liczbami i jest jeden wspólny dla całej struktury. Twoje ostanie zdanie sugeruje, że pomyliłaś kwantyfikatory albo może masz na myśli element odwrotny?

powerfullspace · Post autor: **powerfullspace** » 11 lis 2023, o 19:05

Może pokażesz jak rozumujesz?

Chodzi raczej o to, że nie potrafię zrozumieć, w jaki sposób dostać z tego warunku liczbę. Rozpisałam sobie to tak:

Dla każdego \(\displaystyle{ a, b}\) ze zbioru liczb wymiernych do kwadratu, istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\) z tego samego zbioru, że \(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (a,b).}\)

Więc:
\(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (an + 2bn, an + bn)}\)

1) Dla elementu a

\(\displaystyle{ an + 2bn = a}\)

\(\displaystyle{ n(a + 2b) = a}\)

\(\displaystyle{ n = \frac{a}{a + 2b} }\)

Z tego mamy, że \(\displaystyle{ (a + 2b)\neq 0 }\). \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge b \neq 0}\)

2) Dla elementu b

\(\displaystyle{ an + bn = b}\)

\(\displaystyle{ n(a + b) = b}\)

\(\displaystyle{ n = \frac{b}{a + b} }\)

Z tego mamy, że \(\displaystyle{ (a + b)\neq 0 }\), czyli \(\displaystyle{ a \neq -b}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 lis 2023, o 19:57

A czemu niby jedynka ma mieć obie współrzędne równe?

powerfullspace · Post autor: **powerfullspace** » 11 lis 2023, o 20:30

Chodzi o to, żeby mianownik nie był równy zero. Jeżeli b=0, to a nie może być równe zero, bo byśmy dzielili przez zero. Jeśli pytanie dotyczy podpunktu pierwszego

Post autor: **Jan Kraszewski** » 11 lis 2023, o 20:55

Ta odpowiedź nie ma związku z pytaniem a4karo... Chodzi o to, że stwierdzenie

powerfullspace pisze: ↑11 lis 2023, o 19:05 Dla każdego \(\displaystyle{ a, b}\) ze zbioru liczb wymiernych do kwadratu, istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\) z tego samego zbioru, że \(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (a,b).}\)

w kontekście wyznaczania elementu neutralnego drugiego działania jest błędne (i to z kilku powodów: zła kolejność kwantyfikatorów, zła postać elementu neutralnego, kwantyfikowanie po liczbach zamiast po parach liczb).

Powinno być:

Istnieje para liczb \(\displaystyle{ (e,f)\in\QQ^2}\) taka, że dla każdej pary \(\displaystyle{ (a,b)\in\QQ^2}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (a,b) \odot (e,f) = (a,b).}\)

Nie jest trudno zauważyć, że powyższy warunek spełnia para \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0).}\)

powerfullspace · Post autor: **powerfullspace** » 11 lis 2023, o 23:14

Nie jest trudno zauważyć, że powyższy warunek spełnia para \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0).}\)

JK

Dziękuję. Czyli w tym przypadku element neutralny bierzemy "z zauważenia"? Wystarczy po prostu to zauważyć? I oczywiście odpowiednio uargumentować ten wybór

Post autor: **Jan Kraszewski** » 11 lis 2023, o 23:49

W tym wypadku warunek z definicji jest równoważny układowi równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ e,f}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} ae+2bf=a \\ be+af=b. \end{cases} }\)

Możesz grzecznie ten układ rozwiązać i też wyjdzie Ci \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0),}\) bez "zauważania". Mnie nie chciało się liczyć, więc od razu zauważyłem rozwiązanie.

JK

Matematyka.pl

Wykazać, że struktura jest ciałem

Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem

Re: Wykazać, że struktura jest ciałem