Wykazać, że struktura jest ciałem
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 31 paź 2023, o 20:20
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
Wykazać, że struktura jest ciałem
Cześć, mam pytanie do tego zadania.
Mianowicie mam problem z wyznaczeniem elementu neutralnego drugiego działania (kropka w kółku). Wychodzi mi ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{a+2b} }\) dla pierwszego elementu pary (a,b) oraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} }\) dla elementu b tejże pary. Oczywiście liczby w mianowniku pozbawiają możliwości dowolnego wybrania elementów a i b, a zatem nie dla każdego elementu będzie istniał element neutralny. Należy wykazać, że dana struktura jest ciałem i ewidentnie coś jest u mnie źle zrobione. Dlatego sięgam po pomoc.
Z góry dziękuję!
Mianowicie mam problem z wyznaczeniem elementu neutralnego drugiego działania (kropka w kółku). Wychodzi mi ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{a+2b} }\) dla pierwszego elementu pary (a,b) oraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} }\) dla elementu b tejże pary. Oczywiście liczby w mianowniku pozbawiają możliwości dowolnego wybrania elementów a i b, a zatem nie dla każdego elementu będzie istniał element neutralny. Należy wykazać, że dana struktura jest ciałem i ewidentnie coś jest u mnie źle zrobione. Dlatego sięgam po pomoc.
Z góry dziękuję!
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
Może pokażesz jak rozumujesz? Element neutralny (zarówno dla dodawania jak i mnożenia) wyraża się w tym przypadku konkretnymi liczbami i jest jeden wspólny dla całej struktury. Twoje ostanie zdanie sugeruje, że pomyliłaś kwantyfikatory albo może masz na myśli element odwrotny?powerfullspace pisze: ↑11 lis 2023, o 18:04 Wychodzi mi ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{a+2b} }\) dla pierwszego elementu pary (a,b) oraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} }\) dla elementu b tejże pary. Oczywiście liczby w mianowniku pozbawiają możliwości dowolnego wybrania elementów a i b, a zatem nie dla każdego elementu będzie istniał element neutralny.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 31 paź 2023, o 20:20
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
Chodzi raczej o to, że nie potrafię zrozumieć, w jaki sposób dostać z tego warunku liczbę. Rozpisałam sobie to tak:Może pokażesz jak rozumujesz?
Dla każdego \(\displaystyle{ a, b}\) ze zbioru liczb wymiernych do kwadratu, istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\) z tego samego zbioru, że \(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (a,b).}\)
Więc:
\(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (an + 2bn, an + bn)}\)
1) Dla elementu a
\(\displaystyle{ an + 2bn = a}\)
\(\displaystyle{ n(a + 2b) = a}\)
\(\displaystyle{ n = \frac{a}{a + 2b} }\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ (a + 2b)\neq 0 }\). \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge b \neq 0}\)2) Dla elementu b
\(\displaystyle{ an + bn = b}\)
\(\displaystyle{ n(a + b) = b}\)
\(\displaystyle{ n = \frac{b}{a + b} }\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ (a + b)\neq 0 }\), czyli \(\displaystyle{ a \neq -b}\)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2023, o 20:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do całych wyrażeń matematycznych. Poprawa wiadomości.
Powód: Używaj LaTeXa do całych wyrażeń matematycznych. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 31 paź 2023, o 20:20
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
Chodzi o to, żeby mianownik nie był równy zero. Jeżeli b=0, to a nie może być równe zero, bo byśmy dzielili przez zero. Jeśli pytanie dotyczy podpunktu pierwszego
-
- Administrator
- Posty: 34361
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
Ta odpowiedź nie ma związku z pytaniem a4karo... Chodzi o to, że stwierdzenie
Powinno być:
Istnieje para liczb \(\displaystyle{ (e,f)\in\QQ^2}\) taka, że dla każdej pary \(\displaystyle{ (a,b)\in\QQ^2}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (a,b) \odot (e,f) = (a,b).}\)
Nie jest trudno zauważyć, że powyższy warunek spełnia para \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0).}\)
w kontekście wyznaczania elementu neutralnego drugiego działania jest błędne (i to z kilku powodów: zła kolejność kwantyfikatorów, zła postać elementu neutralnego, kwantyfikowanie po liczbach zamiast po parach liczb).powerfullspace pisze: ↑11 lis 2023, o 19:05 Dla każdego \(\displaystyle{ a, b}\) ze zbioru liczb wymiernych do kwadratu, istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\) z tego samego zbioru, że \(\displaystyle{ (a,b) \odot (n,n) = (a,b).}\)
Powinno być:
Istnieje para liczb \(\displaystyle{ (e,f)\in\QQ^2}\) taka, że dla każdej pary \(\displaystyle{ (a,b)\in\QQ^2}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (a,b) \odot (e,f) = (a,b).}\)
Nie jest trudno zauważyć, że powyższy warunek spełnia para \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 31 paź 2023, o 20:20
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
Dziękuję. Czyli w tym przypadku element neutralny bierzemy "z zauważenia"? Wystarczy po prostu to zauważyć? I oczywiście odpowiednio uargumentować ten wybór
Nie jest trudno zauważyć, że powyższy warunek spełnia para \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0).}\)
JK
-
- Administrator
- Posty: 34361
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Wykazać, że struktura jest ciałem
W tym wypadku warunek z definicji jest równoważny układowi równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ e,f}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} ae+2bf=a \\ be+af=b. \end{cases} }\)
Możesz grzecznie ten układ rozwiązać i też wyjdzie Ci \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0),}\) bez "zauważania". Mnie nie chciało się liczyć, więc od razu zauważyłem rozwiązanie.
JK
\(\displaystyle{ \begin{cases} ae+2bf=a \\ be+af=b. \end{cases} }\)
Możesz grzecznie ten układ rozwiązać i też wyjdzie Ci \(\displaystyle{ (e,f)=(1,0),}\) bez "zauważania". Mnie nie chciało się liczyć, więc od razu zauważyłem rozwiązanie.
JK