Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ G=\langle x,y : x^3=y^3=(xy)^3\rangle}\).
Rozstrzygnąć, czy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest:

1. Skończona.
2. Abelowa.
3. Beztorsyjna.

A coś więcej o \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)?

arek1357 pisze:Może to być grupa pierwiastków stopnia trzy z jedynki

W trywialny sposób nie może. Istnieje epimorfizm \(\displaystyle{ G}\) na elementarną abelową grupę rzędu \(\displaystyle{ 9}\), która ma prezentację \(\displaystyle{ \langle a,b:a^3=b^3=(ab)^3=aba^{-1}b^{-1}=1\rangle}\)

Jeśli grupa jest abelowa, to \(\displaystyle{ x^3=y^3=x^3y^3}\), a stąd \(\displaystyle{ x^3=y^3=1}\) i wtedy \(\displaystyle{ G\approx \mathbb Z_3\oplus \mathbb Z_3}\). Jest to wtedy grupa skończona i oczywiście torsyjna.

Powtórzę pytanie w innej formie:
Co oznacza zapis

Niech \(\displaystyle{ G=\langle x,y : x^3=y^3=(xy)^3\rangle}\).

(bo z matematycznego punktu widzenia ma on mało sensu.)

Moim zdaniem możliwe są dwie interpretacje:

1. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą taką że dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in G}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ x^3=y^3=(xy)^3}\)

2. Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie grupą, a \(\displaystyle{ G\subset H}\) zbiorem takim, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in G}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ x^3=y^3=(xy)^3}\)

Czy w drugim przypadku \(\displaystyle{ G}\) musi byc grupą?

Przy pierwszej interpretacji ta grupa oczywiście nie musi byc skończona (duże produkt \(\displaystyle{ \ZZ_3}\), każdy element ma oczywiście rząd \(\displaystyle{ 3}\)

EDIT: W świetle tego, co napisał M Maciejewski poniżej, te dywagacje nie maja sensu

a4karo pisze:Powtórzę pytanie w innej formie:
Co oznacza zapis

Niech \(\displaystyle{ G=\langle x,y : x^3=y^3=(xy)^3\rangle}\).

To jest pewna konwencja:

Tutaj chodzi o konkretną grupę. Mamy grupę wolną \(\displaystyle{ G_0}\) o dwóch generatorach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Następnie nakładamy pewne relacje, a są nimi podane równości. Wtedy \(\displaystyle{ G}\) to grupa wolna \(\displaystyle{ G_0}\) podzielona przez tę relację. Jaśniejsze to jest dla grup abelowych.
Pytanie brzmi: czy ta konkretna grupa jest taka a śmaka.

arek1357 pisze:Nie rozumiem (...)

Zgadza się.

M M już w zasadzie to napisał:

Napis \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) koduje grupę wolną o dwóch generatorach, czyli taką grupę \(\displaystyle{ F}\), że każda grupa generowana przez dwa elementy jest jej obrazem przy pewnym epimorfizmie. W grupie \(\displaystyle{ F}\) rozważamy najmniejszą podgrupę normalną \(\displaystyle{ N}\) generowaną przez elementy \(\displaystyle{ a^3b^{-3}, a^3(ab)^{-3}}\). Napis \(\displaystyle{ \langle a,b:a^3b^{-3}, a^3(ab)^{-3}\rangle}\) lub nieco przejrzyściej \(\displaystyle{ \langle a,b:a^3=b^3=(ab)^3\rangle}\) to wygodny sposób zapisu grupy ilorazowej \(\displaystyle{ G:=F/N}\). Grupa ta istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.