Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest pierścieniem przemiennym, który ma \(\displaystyle{ n}\) dzielników zera, to jest on skończony i ma co najwyżej \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) elementów.

Może pokażę tu na przykładzie co mnie skłoniło do podjęcia takich a nie innych działań:

\(\displaystyle{ Z_{10}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\)

Wypiszmy teraz z tego pierścienia dzielniki zera:

\(\displaystyle{ \left\{ 2, 4, 5, 6, 8 \right\} }\)

Jak dołożymy zero to będzie:

\(\displaystyle{ \left\{0, 2, 4, 5, 6, 8\right\} }\)

Nie wiem czy autor zadania miał czy nie miał zera na myśli gdy mówił o dzielnikach zera...

Teraz wypiszmy anihilatory poszczególnych dzielników zera:

\(\displaystyle{ 0: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 ,8, 9 -| P/A_{0}|=1 }\)

\(\displaystyle{ 2: 0, 5 - | P/A_{2}|=5 }\)

\(\displaystyle{ 4: 0, 5 - | P/A_{4}|=5 }\)

\(\displaystyle{ 5: 0, 2, 4, 6, 8 -| P/A_{5}|=2 }\)

\(\displaystyle{ 6: 0, 5 - | P/A_{6}|=5 }\)

\(\displaystyle{ 8: 0, 5 -| P/A_{8}|=5 }\)

Każdy z tych anihilatorów można oznaczyć przez:

\(\displaystyle{ A_{x_{i}}}\)

\(\displaystyle{ x_{i} , i=1, 2, 3,..., n}\) dzielniki zera

Liczba anihilatorów jest skończona, bo dzielników zera jest też skończona a dodatkowo anihilatory są ideałami w pierścieniu...no więc:

\(\displaystyle{ |P/A_{x_{i}}|= \frac{|P|}{|A_{x_{i}}|} \le n+1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ |P| \le A_{x_{i}} \cdot (n+1) \le (n+1)(n+1)=(n+1)^2}\)

Bo moc anihilatora oraz pierścienia ilorazowego nie przekracza: \(\displaystyle{ n+1}\)

Co widać na przykładzie...

\(\displaystyle{ n+1}\) - bo zero dodałem jako dzielnik zera... a właściwych dzielników jest \(\displaystyle{ n}\)

Inną ciekawostką w pierścieniu skończonym przemiennym jest to, że:

\(\displaystyle{ P-Dz(P)=R}\)

\(\displaystyle{ P}\) - pierścień

\(\displaystyle{ Dz(P)}\) - zbiór dzielników zera w tym pierścieniu z zerem...

\(\displaystyle{ R}\) - reszta

I każdy element, który należy do \(\displaystyle{ R}\) ma swój: \(\displaystyle{ x^{-1}}\) - co łatwo wykazać...

Chyba nie bardzo potrzebne jest w tym założenie o przemienności pierścienia...

Ale nie potrafię znaleźć pierścienia w którym:

\(\displaystyle{ |P|=(n+1)^2}\)

Zakładam, że chodzi o właściwe dzielniki zera.

Jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to teza jest nieprawdziwa, o czym świadczy dowolne nieskończone ciało. Od teraz załóżmy, że \(\displaystyle{ n > 0}\). Weźmy jakikolwiek właściwy dzielnik zera \(\displaystyle{ a \in R}\) i rozważmy funkcję \(\displaystyle{ m : R \to R}\), \(\displaystyle{ m(x) = ax}\). Jest to homomorfizm grupy addytywnej \(\displaystyle{ (R, +)}\), którego jądro i obraz składają się z dzielników zera (niekoniecznie właściwych), zatem są mocy \(\displaystyle{ \le n+1}\). Z twierdzenia o izomorfizmie \(\displaystyle{ |R| \le (n+1)(n+1) = (n+1)^2}\).

Równość zachodzi dokładnie dla pierścieni postaci \(\displaystyle{ R = \ZZ_{p^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.