mam problem z tym zadaniem
bardzo prosze o pomoc
WYRAZIĆ WIELOMIAN ZA POMOCĄ WIELOMIANÓW SYMETRYCZNYCH PODSTAWOWYCH:
\(\displaystyle{ f= -2x^{2}y^{3}z^{3}-2x^{3}y^{2}z^{3}+3xyz^{3}-2x^{3}y^{3}z^{2}+6xy^{2}z^{2}+6x^{2}yz^{2}+3xy^{3}z+6x^{2}y^{2}z+3x^{3}yz+4xyz}\)
z gory dziekuje!!
wielomian symetrycznny podstawowy
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
wielomian symetrycznny podstawowy
Skorzystam z oznaczeń stąd https://www.matematyka.pl/201727.htm#p740949:
Jeśli wielomian symetryczny \(\displaystyle{ \psi}\) zawiera wśród swoich składników jednomian \(\displaystyle{ a x^{h_{1}}_{\alpha_{1}} x^{h_{2}}_{\alpha_{2}}...x^{h_{n}}_{\alpha_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}}\) jest dowolną permutacją liczb 1,2,...,n.
Sumę wszystkich różnych składników takiej postaci będziemy oznaczali symbolem \(\displaystyle{ \sum a x^{h_{1}}_{1} x^{h_{2}}_{2}...x^{h_{n}}_{n}}\)
U nas \(\displaystyle{ \psi}\) to \(\displaystyle{ f.}\)
Czyli \(\displaystyle{ f = -2\sum x^{2}y^{3}z^{3} + 3\sum xyz^{3}+ 6\sum xy^{2}z^{2} + 4 \sum xyz}\)
Niech
\(\displaystyle{ t1 = \sum x , t2 = \sum xy, t3 = \sum xyz = xyz}\)
oznaczają wielomiany symetryczne podstawowe.
Uważnie przyglądając się wszystkim tym wielomianom mamy:
\(\displaystyle{ \sum x^{2}y^{3}z^{3} = t2 \cdot t3^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum xyz^{3} = \sum x^{2} \cdot t3 = (t1^{2} - 2t2) \cdot t3}\)
\(\displaystyle{ \sum xy^{2}z^{2} = t2 \cdot t3}\)
\(\displaystyle{ \sum xyz = xyz = t3}\)
I to wszystko podstawiamy do \(\displaystyle{ f}\).
Jeśli wielomian symetryczny \(\displaystyle{ \psi}\) zawiera wśród swoich składników jednomian \(\displaystyle{ a x^{h_{1}}_{\alpha_{1}} x^{h_{2}}_{\alpha_{2}}...x^{h_{n}}_{\alpha_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}}\) jest dowolną permutacją liczb 1,2,...,n.
Sumę wszystkich różnych składników takiej postaci będziemy oznaczali symbolem \(\displaystyle{ \sum a x^{h_{1}}_{1} x^{h_{2}}_{2}...x^{h_{n}}_{n}}\)
U nas \(\displaystyle{ \psi}\) to \(\displaystyle{ f.}\)
Czyli \(\displaystyle{ f = -2\sum x^{2}y^{3}z^{3} + 3\sum xyz^{3}+ 6\sum xy^{2}z^{2} + 4 \sum xyz}\)
Niech
\(\displaystyle{ t1 = \sum x , t2 = \sum xy, t3 = \sum xyz = xyz}\)
oznaczają wielomiany symetryczne podstawowe.
Uważnie przyglądając się wszystkim tym wielomianom mamy:
\(\displaystyle{ \sum x^{2}y^{3}z^{3} = t2 \cdot t3^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum xyz^{3} = \sum x^{2} \cdot t3 = (t1^{2} - 2t2) \cdot t3}\)
\(\displaystyle{ \sum xy^{2}z^{2} = t2 \cdot t3}\)
\(\displaystyle{ \sum xyz = xyz = t3}\)
I to wszystko podstawiamy do \(\displaystyle{ f}\).