Warstwy lewostronne i prawostronne

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

Znajdź wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy symetrii trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ S_{3}}\) względem podgrupy obrotów.

Czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ S_{3}=\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}}\) a \(\displaystyle{ H=\{(1,2,3),(1,3,2)\}}\)
Tylko nie wiem, co z tym dalej zrobić.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: a4karo »

Opisz poprawnie `H`, to dalej będzie łatwo
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

Czy \(\displaystyle{ H=\{id,(3,1,2),(2,3,1)\}}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak. Teraz wystarczy skorzystać z definicji (którą powinnaś znać):

warstwa lewostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{gh:h\in H\},}\)

warstwa prawostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{hg:h\in H\}.}\)

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: a4karo »

To nawet nie ma co liczyć - druga warstwa muszą być symetrie bo po prostu innych nie ma.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

Żeby nie musieć liczyć, trzeba widzieć, dlaczego nie trzeba. Obawiam się, że to nie jest ta sytuacja.
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

To właśnie dlatego pytam, żeby się dowiedzieć.

Czyli tutaj jest składanie tych permutacji? I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

aa1 pisze: 4 gru 2022, o 22:32Czyli tutaj jest składanie tych permutacji?
Tak.
aa1 pisze: 4 gru 2022, o 22:32I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?
Bierzesz jeden element \(\displaystyle{ S_3}\), a potem liczysz wszystkie jego złożenia z elementami \(\displaystyle{ H}\). Zbiór wyników to odpowiednia warstwa. Liczenia jest dość dużo (sześć elementów, dla każdego dwie warstwy - lewa i prawa), ale może jak trochę policzysz, to zauważysz jakąś prawidłowość.

Bo jak się trochę rozumie sytuację, to tu faktycznie nie ma co liczyć...

JK
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

A jak składam dwa obroty ze sobą to wychodzi Id, albo obrót, czyli to nie należy już do warstw?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

A dlaczego?

JK
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

a4karo pisze: 4 gru 2022, o 22:04 To nawet nie ma co liczyć - druga warstwa muszą być symetrie bo po prostu innych nie ma.
Zasugerowałam się tym.

Czyli w każdej warstwie - zarówno lewostronnej i prawostronnej dla każdego elementu z \(\displaystyle{ H}\) dostajemy zbiór równy \(\displaystyle{ S_{3}}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

aa1 pisze: 5 gru 2022, o 12:51Czyli w każdej warstwie - zarówno lewostronnej i prawostronnej dla każdego elementu z \(\displaystyle{ H}\) dostajemy zbiór równy \(\displaystyle{ S_{3}}\)
No skąd. Dalej nie rozumiesz pojęcia warstwy. Każda warstwa podgrupy \(\displaystyle{ H}\) jest takim "przesunięciem" \(\displaystyle{ H}\), więc w szczególności każda warstwa ma tyle samo elementów co \(\displaystyle{ H}\), czyli trzy.

Każda warstwa elementu z \(\displaystyle{ H}\) jest równa \(\displaystyle{ H}\) - zastanów się dlaczego.

JK
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

A mogę prosić o rozpisanie jednego przykładu, bo może coś źle liczę.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: Jan Kraszewski »

To pokaż, jak liczysz.

JK
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Warstwy lewostronne i prawostronne

Post autor: aa1 »

Na przykład warstwę lewostronną dla elementu \(\displaystyle{ (3,1,2)}\) policzyłam tak:
\(\displaystyle{ id\circ(3,1,2)=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (1,2)\circ(3,1,2)=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)\circ(3,1,2)=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,3)\circ(3,1,2)=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ(3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (2,3,1)\circ(3,1,2)=id }\)
ODPOWIEDZ