Matematyka.pl

Uzasadnij , że następująca struktura jest grupą :

\(\displaystyle{ (K , \circ )}\) , gdzie \(\displaystyle{ K=\{ f_{0},f_{1},f_{2},f_{3} \}}\) i \(\displaystyle{ f_{0}(x)=x , f_{1}(x)=-x , f_{2}(x)=\frac{1}{x} , f_{3}(x)=-\frac{1}{x} , x \neq 0}\). Działanie\(\displaystyle{ \circ}\) jest superpozycją

Skladanie przeksztalcen jest laczne wystarczy wiec zidentyfikowac elementy odwrotne. Elementem neutralnym jest identycznosc, czyli \(\displaystyle{ f_0}\). Pozostale elementy sa swoimi odwrotnosciami. Np. sprawdzenie dla \(\displaystyle{ f_2}\):

\(\displaystyle{ f_2\circ f_2 (x)=f_2 ft(-\frac 1x\right)=-\frac{1}{-\frac{1}{x}}=x}\).

może ktoś mi rozwiązac to zadanie w pełni nie wiem jak udowodnić ze istnieje element odwrotny , ze struktura jest łaczna itp pomocy

No przecież post wyżej masz wszystko napisane.
Struktura jest łączna bo składanie odwzorowań jest łączne.
Elementem neutralnym jest \(\displaystyle{ f_0}\).
Każdy element jest odwrotny sam do siebie.

Czego jeszcze nie rozumiesz?

JK

możesz mi napisać udowdnienia tych rzeczy co napisałes bo to nie wystarczy napisac jeszcze trzeba udoowdnić

To, że \(\displaystyle{ f_2}\) jest odwrotne samo do siebie napisała Ci xiikzodz. Pozostałe robi się zupełnie analogicznie, więc sobie poradzisz.
Fakt, że \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem neutralnym wynika wprost z definicji złożenia, trzeba ją tylko napisać. Podobnie jest z łącznością składania funkcji.

Napisz to sam, a my (ja lub ktoś inny) sprawdzimy, czy dobrze. Inaczej nigdy się tego nie nauczysz.

JK

PS. Definicja złożenia: \(\displaystyle{ g\circ f(x)=g(f(x))}\).

Można to zapisać w tabelce:

\(\displaystyle{ \begin{matrix} . & f_0 & f_1 & f_2 & f_3\\ f_0 &x&-x&\frac{1}{x}&\frac{1}{-x}\\ f_1 &-x&x&\frac{1}{-x}&\frac{1}{x} \\ f_2 & \frac{1}{x}&\frac{1}{-x}&x&-x\\ f_3 &\frac{1}{-x}&\frac{1}{x}&-x&x \end{matrix}}\)
Widać, że działanie na zbiorze nie wychodzi poza dany zbiór. Stąd wnioskujemy, że ten zbiór jest grupą.

Mam problem z tym samym zadaniem, mogłby ktoś krok po kroku wytłumaczyć? Z góry dziękuje

Ale wszystko jest już napisane. Czego nie rozumiesz?

JK