Niech H bedzie podgrupa grupy G, niech yεG. Udowodnij, że:
gHg^-1={ghg^-1:hεH} jest podgrupa grupy G.
Jak ktoś by to mogł zrobic bym był bardzo wdzięczny:)
Udowodnic, że jest to podgrupa
-
jeyw
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 22 lis 2006, o 17:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
Udowodnic, że jest to podgrupa
H jest podgrupą zatem spełnione sa nastęujące warunki:
\(\displaystyle{ e{\in}H\\{\forall}_{h_{1},h_{2}{\in}H}\ {h_{1}{\circ}{h_{2}}{\in}H}\\{\forall}_{h{\in}H}{\exists}{h^{-1}{\in}H}}\)
niech\(\displaystyle{ H_{1}= \{{g{\circ}h{\circ}g^{-1} : h{\in}H}\}}\)
\(\displaystyle{ e{\in}H}\) zatem \(\displaystyle{ {g{\circ}e{\circ}g^{-1}=e}\) czyli\(\displaystyle{ e{\in}H_{1}}\)
weźmy jakies ustalone \(\displaystyle{ h_{1},h_{2}{\in}H}\)
\(\displaystyle{ {g{\circ}h_{1}{\circ}g^{-1}{\circ}g{\circ}h_{2}{\circ}g^{-1}={g{\circ}h_{1}{\circ}h_{2}{\circ}g^{-1}{\in}H_{1}}\) bo wiemy, że \(\displaystyle{ h_{1}{\circ}{h_{2}}{\in}H}}\)
\(\displaystyle{ {g{\circ}h_{1}{\circ}g^{-1}{\circ}g{\circ}h_{1}^{-1}{\circ}g^{-1}={g{\circ}h_{1}{\circ}e{\circ}h_{1}^{-1}{\circ}g^{-1}={g{\circ}e{\circ}g^{-1}=e}\)
czyli pokazałem że \(\displaystyle{ H_{1}}\) spełnia aksjomaty podgrupy
\(\displaystyle{ e{\in}H\\{\forall}_{h_{1},h_{2}{\in}H}\ {h_{1}{\circ}{h_{2}}{\in}H}\\{\forall}_{h{\in}H}{\exists}{h^{-1}{\in}H}}\)
niech\(\displaystyle{ H_{1}= \{{g{\circ}h{\circ}g^{-1} : h{\in}H}\}}\)
\(\displaystyle{ e{\in}H}\) zatem \(\displaystyle{ {g{\circ}e{\circ}g^{-1}=e}\) czyli\(\displaystyle{ e{\in}H_{1}}\)
weźmy jakies ustalone \(\displaystyle{ h_{1},h_{2}{\in}H}\)
\(\displaystyle{ {g{\circ}h_{1}{\circ}g^{-1}{\circ}g{\circ}h_{2}{\circ}g^{-1}={g{\circ}h_{1}{\circ}h_{2}{\circ}g^{-1}{\in}H_{1}}\) bo wiemy, że \(\displaystyle{ h_{1}{\circ}{h_{2}}{\in}H}}\)
\(\displaystyle{ {g{\circ}h_{1}{\circ}g^{-1}{\circ}g{\circ}h_{1}^{-1}{\circ}g^{-1}={g{\circ}h_{1}{\circ}e{\circ}h_{1}^{-1}{\circ}g^{-1}={g{\circ}e{\circ}g^{-1}=e}\)
czyli pokazałem że \(\displaystyle{ H_{1}}\) spełnia aksjomaty podgrupy