Mam problemy z 3 zadaniami z teorii modułów. Jakieś wskazówki ? jak zacząć sprawdzać warunki
1.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierścieniem, \(\displaystyle{ I \subset R}\) ideałem dwustronnym, \(\displaystyle{ M}\) niech będzie lewym \(\displaystyle{ R}\)-modułem.
Pokazać, że \(\displaystyle{ M/IM}\) jest \(\displaystyle{ R/I}\)-modułem z działaniem zewnętrznym \(\displaystyle{ (r + I)(a + IA) = ra + IA}\).
2. Wskazać przykład skonczenie generowanego modułu, który nie jest skończenie generowaną grupą abelową.
tu wydaje mi się, że ok będzie moduł \(\displaystyle{ Q}\) nad ciałem licz wymiernych, jednak jak wykazać, że jest to skończenie generowany moduł (jeżeli oczywiście mam racje)
3.
Niech\(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) będą pierścieniami, niech \(\displaystyle{ \phi\colon R \to S}\) będzie homomorfizmem pierścieni. Pokazać,że dowolny \(\displaystyle{ S}\)-moduł \(\displaystyle{ M}\) może być wyposażony w strukturę \(\displaystyle{ R}\)-modułu poprzez zdefiniowanie działania \(\displaystyle{ rm}\), \(\displaystyle{ r \in R}\), \(\displaystyle{ m \in M}\) jako \(\displaystyle{ \phi(r)m}\).
teoria modułów
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
teoria modułów
2. Oczywiście nie każdy moduł nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest skończenie generowany. Rozważ \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jako moduł nad samym sobą.
1 i 3. Łatwe. Sprawdź zadaną definicję.
1 i 3. Łatwe. Sprawdź zadaną definicję.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
teoria modułów
Tak. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) działa na sobie poprzez mnożenie:
\(\displaystyle{ r\cdot x = rx}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest generowany przez 1, czyli przez jeden element. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) nie jest jednak wolną grupą Bukowina, tzn. abelową.
\(\displaystyle{ r\cdot x = rx}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest generowany przez 1, czyli przez jeden element. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) nie jest jednak wolną grupą Bukowina, tzn. abelową.