Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) jest grupą oraz \(\displaystyle{ a, b \in G}\) oraz \(\displaystyle{ a^{-1}b^2 a=b^3 }\) jak i \(\displaystyle{ b^{-1}a^2 b=a^3 }\), to \(\displaystyle{ a=b=e}\).Symetria równań
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Symetria równań
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) jest grupą oraz \(\displaystyle{ a, b \in G}\) oraz \(\displaystyle{ a^{-1}b^2 a=b^3 }\) jak i \(\displaystyle{ b^{-1}a^2 b=a^3 }\), to \(\displaystyle{ a=b=e}\).-
arek1357
Re: Symetria równań
przepiszmy oba wygodniej:
(1) \(\displaystyle{ b^2a=ab^3}\)
(2) \(\displaystyle{ a^2b=ba^3}\)
drugie pomnóżmy obustronnie przez \(\displaystyle{ b^2}\) z prawej:
otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^2b^3=ba^3b^2}\)
\(\displaystyle{ a(ab^3)=(ba^3)b}\)
za to co w nawiasach podstawmy z (1) i (2) , otrzymamy:
\(\displaystyle{ ab^2a=a^2b^2 /:a}\) (L) - dzielenie z lewej
\(\displaystyle{ b^2a=ab^2=ab^3}\)
więc:
\(\displaystyle{ ab^2=ab^3 :/a (L)}\)
\(\displaystyle{ b^2=b^3 /: b^2}\)
\(\displaystyle{ b=e}\)
podstawmy to do (2) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^2=a^3}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ a=b=e}\)
cnd...
(1) \(\displaystyle{ b^2a=ab^3}\)
(2) \(\displaystyle{ a^2b=ba^3}\)
drugie pomnóżmy obustronnie przez \(\displaystyle{ b^2}\) z prawej:
otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^2b^3=ba^3b^2}\)
\(\displaystyle{ a(ab^3)=(ba^3)b}\)
za to co w nawiasach podstawmy z (1) i (2) , otrzymamy:
\(\displaystyle{ ab^2a=a^2b^2 /:a}\) (L) - dzielenie z lewej
\(\displaystyle{ b^2a=ab^2=ab^3}\)
więc:
\(\displaystyle{ ab^2=ab^3 :/a (L)}\)
\(\displaystyle{ b^2=b^3 /: b^2}\)
\(\displaystyle{ b=e}\)
podstawmy to do (2) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^2=a^3}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ a=b=e}\)
cnd...
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: Symetria równań
Dla \(\displaystyle{ g \in G}\) funkcja \(\displaystyle{ \varphi_g : G \to G}\), \(\displaystyle{ \varphi_g(x) = g^{-1} x g}\) jest automorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\). Z założeń mamy \(\displaystyle{ \varphi_b(a^2) = a^3}\), zatem
\(\displaystyle{ \varphi_{b^2}(a^8) = \varphi_b( \varphi_b( a^8 ) ) = \varphi_b( a^{12} ) = a^{18}}\).
Stąd \(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_a( a^{18} ) = a^{18}}\), a jednocześnie
\(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_{ \varphi_a(b^2) }( \varphi_a( a^8 ) ) = \varphi_{b^3}( a^8 ) = \ldots = a^{27}}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ a^{18} = a^{27}}\), tj. \(\displaystyle{ a^9 = e}\). Dalej
\(\displaystyle{ e = \varphi_{b^{-2}}(e) = \varphi_{b^{-2}}( a^9 ) = a^4}\),
a stąd już łatwo dostajemy \(\displaystyle{ a = b = e}\).
\(\displaystyle{ \varphi_{b^2}(a^8) = \varphi_b( \varphi_b( a^8 ) ) = \varphi_b( a^{12} ) = a^{18}}\).
Stąd \(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_a( a^{18} ) = a^{18}}\), a jednocześnie
\(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_{ \varphi_a(b^2) }( \varphi_a( a^8 ) ) = \varphi_{b^3}( a^8 ) = \ldots = a^{27}}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ a^{18} = a^{27}}\), tj. \(\displaystyle{ a^9 = e}\). Dalej
\(\displaystyle{ e = \varphi_{b^{-2}}(e) = \varphi_{b^{-2}}( a^9 ) = a^4}\),
a stąd już łatwo dostajemy \(\displaystyle{ a = b = e}\).
Pomyliłeś się w rachunkach.arek1357 pisze: 17 maja 2025, o 16:28 otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^2b^3=ba^3b^2}\)
\(\displaystyle{ a(ab^3)=(ba^3)b}\)