Matematyka.pl

W definicjach grupy widzę, że działaniem może być dodawanie, mnożenie, ale też jakieś abstrakcyjne określone powiedzmy kwadracikiem. Kiedy jednak widzę definicję pierścienia czy ciała, zawsze są wprost podane dodawanie i mnożenie. Czy tak się zawiera przez praktykę, czy jednak w samej definicji mogą być jakieś nowo określone działania, które są czymś innym?

Możesz sobie te działania nazwać np bździągowaniem i dryngliwaniem. To kwestia gustu.
Nazw dodawania i mnożenia w pierścieniu używa się dlatego, że mają one takie same właściwości jak dodawanie i mnożenie w liczbach całkowitych (które są naturalnym przykładem pierścieniu).
Grupach jest podobnie się tu mamy dwie naturalnie grupy: liczby rzeczywiste z dodaniem i liczby rzeczywiste dodatnie z mnożeniem
W

Czyli jeśli określę jakieś inne działania z takimi właściwościami, to też spełnią definicję pierścienia lub ciała?

Dokładnie tak. Nie chodzi o ich nazwy, lecz o własności. Inna sprawa, że stosowania standardowych nazw ułatwia przyczynienie i ocenę wyników