Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza sprzężenie zespolone. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]/(x^2+1) }\) jest izomorficzne z algebrą kwaternionów \(\displaystyle{ H(\RR)}\).

Proszę o pomoc jak to zrobić. Nie rozumiem za bardzo co się tu dzieje.

Pierscień \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]}\) to pierścień skośno-wielomianowy (skew polynomial ring), nieprzemienny wariant pierścienia wielomianów \(\displaystyle{ \CC[x]}\), z regułą mnożenia: \(\displaystyle{ x\cdot z = \alpha(z)\cdot x}\). Pierścień \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]/(x^2+1) }\) to pierścien ilorazowy pierścienia \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]}\). Jest on izomorficzny z algebrą kwaternionów \(\displaystyle{ H(\RR)}\):
za jednostki kwaternionowe można przyjąć w \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]/(x^2+1) }\) obrazy elementów \(\displaystyle{ i, x, ix}\) pierścienia \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]}\).

Ok, ale jak możesz to wytłumacz mi parę rzeczy bo ja jestem ciężko myślący. To \(\displaystyle{ \CC\left[ x\right] }\) to jest pierścień wielomianów czyli elementami tego pierścienia są wielomiany dowolnego stopnia o współczynnikach zespolonych zmiennej zespolonej, tak? I jest nieprzemienny czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ x^2+1}\) to jest co innego niż \(\displaystyle{ 1+x^2}\) i to są dwa różne wielomiany, zgadza się? Nie wiem za bardzo jak rozumieć tą regułę mnożenia, co to jest to \(\displaystyle{ x}\)? \(\displaystyle{ z}\) to się domyślam, że to jest dowolna liczba zespolona. I jeszcze mam pytanie jakie są elementy pierścienia \(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]/(x^2+1)}\)?

1. \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]}\) to pierścień, którego dziedzina to zbiór wielomianów \(\displaystyle{ \CC[x]}\), dodawanie jest takie samo jak w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ \CC[x]}\) (więc jest przemienne), nieprzemienne jest mnożenie, zadane przez regułę podaną wyżej (używającą automorfizmu \(\displaystyle{ \alpha}\)).
2. \(\displaystyle{ x}\) w regule mnożenia jest wielomianem \(\displaystyle{ x}\), elementem \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]}\). \(\displaystyle{ x}\) wraz z \(\displaystyle{ \CC}\) generuje ten pierścień, stąd podana reguła w pełni określa mnożenie w pierścieniu \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]}\). W tym pierścieniu \(\displaystyle{ 1+x^2=x^2+1}\), bo dodawanie tamże to zwykłe dodawanie wielomianów.
3. Elementy pierścienia \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]/(x^2+1)}\) to warstwy ideału \(\displaystyle{ (x^2+1)}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]}\).

1. Ok, ale to zwykłe \(\displaystyle{ \CC\left[ x\right] }\), to jego elementami są wielomiany dowolnego stopnia o współczynnikach zespolonych zmiennej zespolonej, tak czy nie?
2. Tak, tylko nie wiem jak to mnożenie wygląda w praktyce i czy ta reguła mnożenia określa nam tylko mnożenie wielomianu przez skalar, czy także wielomianu przez wielomian? Weźmy dla przykładu takie mnożenie wielomianu przez skalar, czy to dobrze liczę?:
\(\displaystyle{ ((1-i)x^2+(2-3i)x+5+2i)(2+i)=(2-i)((1-i)x^2+(2-3i)x+5+2i)=\\=(2-2i-i-1)x^2+(4-6i-2i-3)x+10+4i-5i+2=(1-3i)x^2+(1-8i)x+12-i}\)?
A jak wygląda jakiś przykład mnożenia wielomianu przez wielomian?
3. A możesz wypisać kilka tych warstw, żebym zobaczył o co chodzi?

Dodano po 22 godzinach 52 minutach 27 sekundach:
Dobra trochę poczytałem i chyba ten ideał \(\displaystyle{ (x^2+1)}\) to jest ideał generowany przez element \(\displaystyle{ x^2+1}\), czyli zbiór elementów postaci \(\displaystyle{ C(x^2+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in \CC\left[ x,\alpha\right] }\), tak? Warstwy tego ideału, to jak rozumiem zbiory postaci: \(\displaystyle{ C+(x^2+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in \CC\left[ x,\alpha\right] }\), zgadza się? Nie bardzo wiem, dlaczego to miałoby być izomorficzne z algebrą kwaternionów. Proszę o jakąś pomoc.

Dodano po 2 dniach 20 godzinach 32 minutach 22 sekundach:
Może mi ktoś pomóc?

1. Tak.
2. Ta reguła wystarczy żeby jednoznacznie zdefiniować mnożenie wielomianu przez wielomian, bo z tej reguły wynika że

\(\displaystyle{ x^i b = x^{i-1} \alpha(b) x = x^{i-2} \alpha(\alpha(b)) x^2 = \ldots = \alpha^i(b) x^i}\),

więc

\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^m a_ix^i \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^n b_jx^j \right) = \sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_i x^i b_j x^j = \sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_i \alpha^i(b_j) x^{i+j} = \sum_{k=0}^{m+n} \left( \sum_{i+j=k} a_i \alpha^i(b_j) \right) x^k}\).

Dlatego też niedobrze liczysz - czynnik \(\displaystyle{ 2+i}\) nie przejdzie tak po prostu na \(\displaystyle{ 2-i}\) przy przenoszeniu na drugą stronę, bo liczba jego sprzęgnięć zależy od tego, przez jaką potęgę iksa go przekładamy.

Ok, dzięki.

A jeszcze odnośnie tego punktu 3. Te elementy pierścienia \(\displaystyle{ \CC[x,\alpha]/(x^2+1)}\), czy to są elementy postaci:
\(\displaystyle{ C+(x^2+1)=\left\{ C+i: i \in (x^2+1)\right\} }\), a elementy ideału \(\displaystyle{ (x^2+1)}\), czy to są elementy postaci (nie wiem czy dwustronny ten ideał, czy jednostronny, zakładam, że jednostronny):
\(\displaystyle{ c_1(x^2+1)+c_2(x^2+1)+...+c_n(x^2+1)}\),
gdzie \(\displaystyle{ c_i \in \CC\left[ x,\alpha\right] }\)

Dlaczego miałoby być to izomorficzne z algebrą kwaternionów? Proszę o jakąś pomoc, bo się w tym gubię.

Czyli elementy tego pierścienia to są reszty z dzielenia przez wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\) czyli wielomiany liniowe \(\displaystyle{ ax+b}\)?

A to co chcesz pokazać dalej, to, że ten izomorfizm zachowuje mnożenie?

A ten izomorfizm to będzie po prostu identyczność? Bo musi zachodzić coś takiego:
\(\displaystyle{ h(a \cdot b)=h(a) \times h(b)}\)
A Ty pokazujesz z tego co widzę, że:
\(\displaystyle{ a \cdot b=a \times b}\)
Zgadza się?

No ok, to w takim razie jak wygląda ten izomorfizm?

No dobra to chyba wreszcie załapałem o co chodzi. Jeszcze wypadałoby to dodawanie sprawdzić, ale to jest chyba akurat proste:
\(\displaystyle{ \varphi ((ax+b)+(cx+d))=\varphi (a+c)x+b+d)=(b+d,a+c)=(b,a)+(d,c)=\varphi (ax+b)+\varphi (cx+d)}\), zgadza się?
A ten izomorfizm to chyba nie mógłby być \(\displaystyle{ \varphi : ax+b \rightarrow (a,b)}\), bo tam w tym mnożeniu ta pierwsza para ma minus i by się nie zgadzało, co nie?
A jeszcze mam takie pytanie z innej beczki. Mówisz, że elementy tego pierścienia to te reszty z dzielenia, zatem jakby ten pierścień był taki:
\(\displaystyle{ \CC\left[ x;\alpha\right]/(3x^2+7x-5)}\), to rozwiązanie chyba by się w ogóle nie zmieniło, bo reszta z dzielenia byłaby dalej liniowa, zgadza się?