Udowodnić, że przecięcie wszystkich ideałów ze Spektrum pierścienia przemiennego jest nilradykałem tego pierścienia.
Czy założenie przemienności jest niezbędne
Spektrum pierścienia to rodzina jego ideałów pierwszych. Nilradykał to ideał elementów nilpotentnych.
Spektrum pierścienia
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11445
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3156 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Spektrum pierścienia
Jeżeli:
\(\displaystyle{ x \in Nil(P)}\) P pierścień przemienny
Jeżeli założymy, że x jest elementem jakiegoś pierścienia pierwszego to:
\(\displaystyle{ x^n=0 \Rightarrow x \cdot x^{n-1}=0 \Rightarrow x \in Spec(P) \vee x^{n-1} \in Spec(P)}\)
Wynika stąd, że Zbiór elementów nilpotentnych tworzy ideał pierwszy, każdy element nilpotentów zawiera się we wszystkich Ideałach pierwszych
Czyli elementy nilpotentne zawierają się w w przecięciu wszystkich ideałów pierwszych czyli w przecięciu się elementów spektrum P - \(\displaystyle{ Spec(P)}\)
W drugą stronę wystarczy założyć, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x^n \neq 0 n=1,2,3,...}\)
Rozważmy rodzinę ideałów \(\displaystyle{ S}\) dla których:
\(\displaystyle{ x^n \notin S }\)
W takiej rodzinie będzie w jakimś łańcuchu element maksymalny nazwijmy go \(\displaystyle{ A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ a,b \in P , a \notin A , b \notin A}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+aP}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+bP}\)
I te zawierania są ostre
Ideały te z prawej nie należą do rodziny \(\displaystyle{ S}\)
Istnieją takie: \(\displaystyle{ n, m}\) , że:
\(\displaystyle{ x^n \in A+aP \wedge x^m \in A+bP }\)
Więc iloczyn:
\(\displaystyle{ x^n \cdot x^m = x^{n+m} \in (A+aP)(A+bP)=A^2+AbP+aPA+abP \subset A+abP}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{n+m} \in A+abP }\)
Czyli ideał:
\(\displaystyle{ A+abP \notin S}\)
Czyli ten ideał nie należy do naszej zdefiniowanej rodziny ideałów...
Więc też:
\(\displaystyle{ ab \notin A}\)
Wynika stąd, że ideał \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy
Ideał pierwszy ma tę własność, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin A \Rightarrow x^n \notin A \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
Co dowodzi zawierania się w drugą stronę...
Dobrze to widać np. na pierścieniu:
\(\displaystyle{ Z_{60}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,59\right\} }\)
\(\displaystyle{ Spec(Z_{60})=\left\{ (2), (3), (5)\right\} }\)
\(\displaystyle{ Nil(Z_{60})=\left\{ 0,30\right\} }\)
\(\displaystyle{ 30^2=0 \mod 60}\)
\(\displaystyle{ x \in Nil(P)}\) P pierścień przemienny
Jeżeli założymy, że x jest elementem jakiegoś pierścienia pierwszego to:
\(\displaystyle{ x^n=0 \Rightarrow x \cdot x^{n-1}=0 \Rightarrow x \in Spec(P) \vee x^{n-1} \in Spec(P)}\)
Wynika stąd, że Zbiór elementów nilpotentnych tworzy ideał pierwszy, każdy element nilpotentów zawiera się we wszystkich Ideałach pierwszych
Czyli elementy nilpotentne zawierają się w w przecięciu wszystkich ideałów pierwszych czyli w przecięciu się elementów spektrum P - \(\displaystyle{ Spec(P)}\)
W drugą stronę wystarczy założyć, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x^n \neq 0 n=1,2,3,...}\)
Rozważmy rodzinę ideałów \(\displaystyle{ S}\) dla których:
\(\displaystyle{ x^n \notin S }\)
W takiej rodzinie będzie w jakimś łańcuchu element maksymalny nazwijmy go \(\displaystyle{ A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ a,b \in P , a \notin A , b \notin A}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+aP}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+bP}\)
I te zawierania są ostre
Ideały te z prawej nie należą do rodziny \(\displaystyle{ S}\)
Istnieją takie: \(\displaystyle{ n, m}\) , że:
\(\displaystyle{ x^n \in A+aP \wedge x^m \in A+bP }\)
Więc iloczyn:
\(\displaystyle{ x^n \cdot x^m = x^{n+m} \in (A+aP)(A+bP)=A^2+AbP+aPA+abP \subset A+abP}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{n+m} \in A+abP }\)
Czyli ideał:
\(\displaystyle{ A+abP \notin S}\)
Czyli ten ideał nie należy do naszej zdefiniowanej rodziny ideałów...
Więc też:
\(\displaystyle{ ab \notin A}\)
Wynika stąd, że ideał \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy
Ideał pierwszy ma tę własność, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin A \Rightarrow x^n \notin A \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
Co dowodzi zawierania się w drugą stronę...
Dobrze to widać np. na pierścieniu:
\(\displaystyle{ Z_{60}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,59\right\} }\)
\(\displaystyle{ Spec(Z_{60})=\left\{ (2), (3), (5)\right\} }\)
\(\displaystyle{ Nil(Z_{60})=\left\{ 0,30\right\} }\)
\(\displaystyle{ 30^2=0 \mod 60}\)