Matematyka.pl

Radykał pierścienia to część wspólna wszystkich ideałów maksymalnych pierścienia. (ozn. \(\displaystyle{ R(P)}\)). Udowodnić, że pierścień \(\displaystyle{ P/R(P)}\) jest bez radykału (tj. że \(\displaystyle{ R(P)=0}\)).

Trywialne - ideały maksymalne pierścienia \(\displaystyle{ P/R(P)}\) są w bijekcji z ideałami maksymalnymi pierścienia \(\displaystyle{ P}\), które zawierają ideał \(\displaystyle{ R(P)}\), a więc ze wszystkimi ideałami maksymalnymi pierścienia \(\displaystyle{ P}\). Wobec tego przecięcia ideałów maksymalnych pierścienia odpowiada ideałowi \(\displaystyle{ R(P) / R(P)}\) czyli ideałowi zerowemu.