Matematyka.pl

Chciałam zapytać, czy pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]}\) byłby dobrym przykładem pierścienia całkowitego, który jest noetherowski, ale nie jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem?

I drugi problem: czy ktoś mógłby podać przykład pierścienia z jednoznacznym rozkładem, który nie jest pierscieniem noetherowskim?

Chuleta pisze:Chciałam zapytać, czy pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]}\) byłby dobrym przykładem pierścienia całkowitego, który jest noetherowski, ale nie jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem?

Ten pierścień jest UFD na mocy tw. Gaussa: jeżeli pierścień \(\displaystyle{ R}\) jest UFD, to \(\displaystyle{ R[X]}\) też jest UFD. Na pewno też jest dziedziną i noetherowski (z tw. Hilberta o bazie).

Rozważ pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\).

I drugi problem: czy ktoś mógłby podać przykład pierścienia z jednoznacznym rozkładem, który nie jest pierscieniem noetherowskim?

Rozważ: \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X_1,X_2,X_3,\ldots]}\).