Witam. Zauważyłem, że w pierścieniach z jedynką przemienność dodawania wynika z pozostałych aksjomatów. Oto dowód:
W każdej grupie:
\(\displaystyle{ -(a+b)=-(a+b)+(a+(-a))=-(a+b)+(a+(b+(-b))+(-a))=-(a+b)+(a+b)+(-b+(-a))=-b+(-a) }\)
czyli:
1) \(\displaystyle{ -(a+b)=-b+(-a) }\)
oraz:
\(\displaystyle{ -(-a)=-(-a)+(-a)+a=a }\)
czyli:
2) \(\displaystyle{ -(-a)=a }\)
W każdym pierścieniu z 1:
\(\displaystyle{ (-1)a=(-1)a+a+(-a)=((-1)+1)a+(-a)=-a }\)
czyli:
3) \(\displaystyle{ (-1)a=-a }\)
W końcu:
\(\displaystyle{ a+b=-(-a)+(-(-b))=(-1)(-a)+(-1)(-b)=(-1)(-a+(-b))=-(-a+(-b))=-(-b)+(-(-a))=b+a }\)
\(\displaystyle{ QED }\)