Matematyka.pl

W jaki sposób wyznacza się podgrupy kwaternionów \(\displaystyle{ (Q_{8}=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\})}\) ?

wylicza się je na palcach. Sprawdź jaką podgrupę generuje każdy element, potem pary...

Wiem, że np.\(\displaystyle{ \left\langle i\right\rangle = {\displaystyle \{1,-1,i,-i\}}}\), ale nie wiem jak to wyznaczyć, czy to jest tak, że \(\displaystyle{ i}\) podnosimy do potęg z tego zbioru \(\displaystyle{ Q_{8}}\) ?

Nie. Działanie jest mnożenie, więc wymnażamy tak długo, aż dostanie coś, co już było. Czyli `i, i^2, i^3, i^4, i^5,...`

Ok. A co się dzieje jak jest j oraz k ?

Sprawdź. W końcu znasz definicję działań w kwaternionach

Czyli j oraz k zachowują się tak samo jak i. Bo wychodzą takie same podgrupy tylko odpowiednio z j oraz k

ok. Masz zatem trzy podgrupy rzędu \(\displaystyle{ 2}\). Teraz sprawdź co się dzieje, gdy weźmiesz np. `i` i `j`.

Aby wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Hamiltona \(\displaystyle{ Q_{8} =\{ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k \} }\) musimy wiedzieć co to jest podgrupa grupy i jak się generuje wszystkie podgrupy danej grupy.

Podgrupą grupy \(\displaystyle{ (G, \cdot , e) }\) nazywamy taki podzbiór \(\displaystyle{ H \subseteq G }\), że \(\displaystyle{ e \in H, \ \ h^{-1}\in H }\) dla każdego \(\displaystyle{ h\in H }\) oraz \(\displaystyle{ h_{1}\cdot h_{2} \in H }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2} \in H. }\)

Z definicji tej wynika, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ H }\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G }\) to zawężenie działania w zbiorze \(\displaystyle{ G }\) jest działaniem w zbiorze \(\displaystyle{ H }\) i zbiór \(\displaystyle{ H }\) z tym działaniem tworzy grupę.

Stwierdzenie, że \(\displaystyle{ H }\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G }\) zapisujemy \(\displaystyle{ H< G. }\)

Po pierwsze jeżeli \(\displaystyle{ H < G }\) to \(\displaystyle{ |H| }\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ |G|. }\)

Skąd \(\displaystyle{ |H| }\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ |Q_{8}|=8, }\) więc \(\displaystyle{ |H|=1, \ \ |H|=2, \ \ |H| =4, }\) lub \(\displaystyle{ |H|=8.}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ |H|=1 }\) to \(\displaystyle{ H = \{1\} }\) , jeżeli \(\displaystyle{ |H| = 8 }\) to \(\displaystyle{ H = Q_{8}.}\)

Po drugie jeżeli \(\displaystyle{ |H| = 2 }\) czyli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna (abelowa), wtedy \(\displaystyle{ H = < a > }\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in Q_{8}. }\)

Z twierdzenia " jeżeli \(\displaystyle{ n \in \NN }\) i \(\displaystyle{ a }\) jest elementem grupy takim, że podgrupa \(\displaystyle{ < a >}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n }\) elementów, wówczas \(\displaystyle{ a^{n} = e }\) oraz \(\displaystyle{ a^{k} \neq e }\) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ k< n."}\)

Zatem \(\displaystyle{ a \neq e }\) i \(\displaystyle{ a^2 = e. }\)

Z tabeli mnożenia grupy \(\displaystyle{ Q_{8}: }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \cdot & 1 &-1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline
1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline
-1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k \\ \hline
i & i & -i & -1 & 1 & k & -k & -j & j \\ \hline
-i & -i & i & 1 & -1 & -k & k & j & -j \\ \hline
j & j & -j & -k & k & -1 & 1 & i & -i \\ \hline
-j & -j & j & k & -k & 1 & -1 & -i & i \\ \hline
k & k & -k & j & -j & -i & i & -1 & 1 \\ \hline
-k & -k & k & -j & j & i & -i & 1 & -1 \\ \hline
\end{tabular} }\)

odczytujemy \(\displaystyle{ a = -1 }\) i na mocy twierdzenia:

"jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest elementem grupy \(\displaystyle{ G }\) i \(\displaystyle{ n }\) jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ a^{n} = e }\) to podgrupa \(\displaystyle{ <a> }\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n }\) elementów i \(\displaystyle{ <a> = \{ 1, a, a^2, ..., a^{n-1}\}". }\)

\(\displaystyle{ \{1, -1 \} }\) jest jedyną podgrupą dwuelementową grupy \(\displaystyle{ Q_{8}.}\)

Niech \(\displaystyle{ |H| = 4. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ -1 }\) jest jedynym elementem różnym od \(\displaystyle{ 1, }\) więc na podstawie stwierdzenia:

" jeżeli \(\displaystyle{ H }\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G, }\) to nastepujące warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ (1) \ \ H }\) jest podgrupą rzędu \(\displaystyle{ 4 }\) grupy \(\displaystyle{ G, }\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ H = \{ e, a, a^2, a^2 \} \ \ a^2 \neq e }\) i \(\displaystyle{ a^4 = e }\) lub \(\displaystyle{ H = \{ e, a, ab\} }\) dla pewnych \(\displaystyle{ a, b \in G }\) takich, że \(\displaystyle{ a\neq b, \ \ a\neq e, \ \ ab = ba }\) i \(\displaystyle{ a^2 = b^2 = e.}\)

Mamy \(\displaystyle{ H = \{ e, a, a^2, a^3\} = <a>, }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ a\in Q_{8}, \ \ a \neq 1, \ \ a^2 \neq 1, \ \ a^4 = 1. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ a\in \{i, -i, j, -j, k, -k \} }\) ale \(\displaystyle{ <-i> = <i> = \{ 1, -1, i, -i \}, \ \ <-j> = <j> = \{ 1,-1, j, -j \}, \ \ <-k> = <k> = \{ -1,-1,k, -k\}. }\)

Mamy więc trzy różne podgrupy rzędu \(\displaystyle{ 4 }\) grupy \(\displaystyle{ Q_{8}: \ \ \{ 1, -1, i, -i \}, \ \ \{ 1,-1, j, -j \}, \ \ \{ -1,-1,k, -k\}.}\)

Wszystkimi podgrupami grupy Hamiltona są więc:

\(\displaystyle{ \{1\}, \{-1\}, \ \ \{ -1, 1 \}, \ \ \{1, -1, i, -i \}, \ \ \{1,-1, j -j \}, \ \ \{ 1,-1, k, -k \},\ \ Q_{8}.}\)