Matematyka.pl

ZADANIE: Wyznacz wszystkie podgrupy grupy \(\displaystyle{ Φ_8}\).
Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak to zrobić krok po kroku? Będę wdzięczna

Napisz czym jest grupa \(\displaystyle{ \Phi_8}\).

Grupa \(\displaystyle{ \Phi_{8}}\) to elementy względnie pierwsze (jedności monoidu) do \(\displaystyle{ 8}\), czyli \(\displaystyle{ \Phi_{8}=\{1,3,5,7\}}\)

To się liczy na palcach. Potrzebna jest definicja podgrupy, ołówek i kartka

Możesz też zamiast zupełnie zgadywać (co w tym przypadku pewnie zadziała równie dobrze) postąpić bardziej systematycznie i skorzystać z faktu, że grupa generowana jest podgrupą. To pozwala podgrupy generować. Ogólnie podgrupa grupy \(\displaystyle{ G}\) generowana przez \(\displaystyle{ A}\) ma postać
co można przyjąć za definicję lub sprawdzić, że jest to najmniejsza w sensie inkluzji grupa zawierająca \(\displaystyle{ A}\). Wracając do przykładu. Rozważmy podgrupy \(\displaystyle{ \Phi_8}\), będące grupami generowanymi przez jeden element. Te grupy to \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle, \left\langle 3\right\rangle, \left\langle 5\right\rangle, \left\langle 7\right\rangle}\). Od razu widać, że \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle}\) to po prostu grupa trywialna złożona z elementu neutralnego. Jednak pozostałe to odpowiednio \(\displaystyle{ \left\{ 1,3\right\} }\), \(\displaystyle{ \left\{ 1,5\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ 1,7\right\} }\) bo \(\displaystyle{ 3 \cdot 3=1}\), \(\displaystyle{ 5 \cdot 5=1}\) oraz \(\displaystyle{ 7 \cdot 7=1}\) w \(\displaystyle{ \Phi_8}\). I to są nasze podgrupy które zostały wygenerowane z jednego elementu. Teraz zastanówmy się nad podgrupami które są wygenerowane z dwóch elementów \(\displaystyle{ \Phi_8}\). Aby sytuacja była ciekawa załóżmy, że dwa z tych elementów są równe od \(\displaystyle{ 1}\) (bo gdyby jakiś był \(\displaystyle{ 1}\) to wracamy się do wcześniejszej sytuacji). I teraz zauważmy, że w \(\displaystyle{ \Phi_8}\) mamy równość \(\displaystyle{ x \cdot y=z}\), gdzie pod \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\) możesz wstawić \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 7}\) w dowolnej kolejności. To zaś oznacza, że grupa generowana na dwóch nietrywialnych elementach już jest całością czyli \(\displaystyle{ \Phi_8}\). Na koniec rysuneczek Przy czym to co jest niżej to jest podgrupa grupy wyżej.

PS jak się definiuje grupę to poza podaniem zbioru warto jeszcze pobadać działanie. Ja się domyślałem od samego początku o co może chodzić ale i tak wolałem dopytać bo nie znam tych oznaczeń. Pewnie \(\displaystyle{ \Phi_n}\) to znane oznaczenie i to jest chyba to samo co \(\displaystyle{ \ZZ_n^{ \times }}\). Ale i tak musiałem się domyślać bo nie podałaś działania. Domyśliłem się, że to mnożenie \(\displaystyle{ \text{mod } 8}\) jakby co.

Janusz Tracz - jaką mamy pewność, że nie istnieje jakaś podgrupa, która nie jest wygenerowana? Jest jakieś twierdzenie, które zapewnia nam, że da się wygenerować każdą grupę? Nie odczytaj tego jako atak, po prostu chcę wiedzieć dlaczego tak można. Jeśli pytam o oczywistą rzecz, to przepraszam.

Dobre pytanie. Masz pewność, że każda podgrupa zostanie w ten sposób znaleziona ponieważ każda podgrupa jest grupą generowaną. Jeśli przez \(\displaystyle{ \mathscr{P}(G)}\) oznaczymy zbiór wszystkich podgrup grupy \(\displaystyle{ G}\) oraz przez \(\displaystyle{ \mathscr{PG}(G)}\) zbiór podgrup (przez coś) generowanych to \(\displaystyle{ \mathscr{P}(G)=\mathscr{PG}(G)}\). Inkluzja \(\displaystyle{ \mathscr{PG}(G) \subseteq \mathscr{P}(G) }\) jest oczywista wszak grupy generowane są podgrupami. W drugą stronę wystarczy zauważyć, że jeśli weźmiemy dowolną podgrupę \(\displaystyle{ A\in \mathscr{P}(G)}\) to \(\displaystyle{ \left\langle A\right\rangle\in \mathscr{PG}(G) }\). Tyle tylko, że \(\displaystyle{ A}\) już jest grupą więc nic się w niej nowego nie wygeneruje to znaczy \(\displaystyle{ A=\left\langle A\right\rangle }\). Czyli \(\displaystyle{ A\in \mathscr{PG}(G) }\).