Matematyka.pl

Problem:

Niech \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\). Czy istnieje pierścień przemienny R, posiadający dokładnie n elementów odwracalnych?

Takie pytanie przyszło mi do głowy podczas jednego z wykładów z algebry. Zastanawiałem się, podpytywałem nieśmiało kolegów, wykładowcę - zgodna jest opinia, że odpowiedź na problem jest pozytywna. Przypadki szczególne są określone np. przez stwierdzenie, że w grupie cyklicznej rzędu n mamy \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) elementów rzędu n (funkcja Eulera). Możemy więc (?) powiedzieć, że jeżeli liczba n jest iloczynem wartości funkcji Eulera, to jest dobrze. No, ale nie każda jest... (?)

Jak widzicie, są pewne znaki zapytania. Może ktoś zechce się dołączyć do rozważań? A może to jest po prostu łatwe - wtedy poprosiłbym o podpowiedź

\(\displaystyle{ \mathbb{Z} [ \sqrt[n]{1} ]}\). chyba. nie chce mi sie myslec.

g pisze:\(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt[n]{1}]}\). chyba. nie chce mi sie myslec.

Dokładnie... a dokładniej \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X]/(X^{n}-1)}\)
Grupa lementów odwracalnych to: \(\displaystyle{ \{1, X, X^2, \ldots , X^{n-1}\}\simeq\mathbb{Z}_n}\)

Dziękuję, to dobry przykład (dla ścisłości oczywiście - ta grupa składa się z warstw ww. wielomianów, a nie z nich samych - taka uwaga dla innych czytelników, rozwiązujący to wiedział tylko mu się nie chciało pisać). Wychodzi więc na to, że problem był łatwy...

Arek, dzięki za uściślenie. Czasami zapominam, że Forum czytają też osoby dużo mniej obeznane z matematyką. A jest to okazja, by uszczknęli choć trochę tej wiedzy...

Przy okazji zrodziło mi się pytanie, czy dla każdej grupy przemiennej istnieje taki pierścień przemienny, którego grupa elementów odwracalnych jest z nią izomorficzna.
Dla przykładu weźmy grupę \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2}\)...

Pozdrawiam... i życzę sukcesów w zmaganiach algebraicznych

na oko to takim pierscieniem, ze grupa jednosci to jakas ustalona grupa G jest \(\displaystyle{ \mathbb{Z} [X] / (g)}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest takim wielomianem, ze jego grupa Galois jest \(\displaystyle{ G}\). ale to tak na szybko, jeszcze przemysle.

[edit]
to byl raczej zly pomysl. ten powinen byc juz dobry.
kazda grupa przemienna jest izomorficzna z jakims iloczynem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n_1} ... \mathbb{Z}_{n_k}}\). dla takiej grupy szukanym pierscieniem bedzie \(\displaystyle{ R = \mathbb{Z} [ \sqrt[n_1]{1} ] ... \mathbb{Z} [ \sqrt[n_k]{1} ]}\) z dzialaniami po wspolrzednych. wtedy grupa jednosci \(\displaystyle{ R}\) to \(\displaystyle{ \{ (x_1, ... , x_k) R : |x_i| = 1 \}}\), a ta jest naturalnie izomorficzna z \(\displaystyle{ G}\).

Właściwie dobrze, o ile wyjściowa grupa jest skończenie generowana i każdy generator ma rząd skończony.

Ale ogólna konstrukcja owego pierścienia idzie właśnie w sposób, jak pokazał g (lub też analogicznie z wykorzystaniem pierścienia wielomianów wielu zmiennych).

A przypadek pierścieni i grup nieprzemiennych, choć bardzo ciekawy, to już jednak inna bajka...

Pozdrawiam

Powróćmy na chwilę do rozwiązania wyjściowego zadania. Pojawia się następująca wątpliwość: biorąc w podanym pierścieniu ilorazowym (Sir George) warstwę wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = -1}\) dostaję, że jest to element odwracalny, a nawet rzędu 2 (w grupie multiplikatywnej).

Czy to nie oznacza, że rozwiązanie z początku uznane za dobre wydaje się pasować tylko dla n parzystego? A może problem leży gdzieś głębiej? A może czegoś nie widzę?

Arek ma rację. Odpowiedź na początkowe pytanie jest pozytywna jedynie, gdy \(\displaystyle{ 2|n}\) i podane pierscienie sa wtedy dobrymi przykładami. Jednak dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych takie pierścienie nie istnieją z dosyć prostej przyczyny - każdy element pierścienia posiada element do siebie odwrotny. Zatem gdyby jedności była nieparzysta ilość, to po pogrupowaniu w pary postaci \(\displaystyle{ (a,-a)}\) zostalibyśmy z jedną jednością, która musiałaby być równa sobie samej, czyli byłaby zerem, które jak wiemy odwracalne nie jest.

mu&Arek, macie rację, co się tyczy liczby elementów odwracalnych w podanych przykładach. Z roztargnienia zapomniałem, że w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) również \(\displaystyle{ -1}\) jest odwracalny.

mu, co do Twojego rozumowania, to w ogólności jest fałszywe. Zakładasz bowiem, że \(\displaystyle{ -a\neq a}\), co nie musi być prawdą...

Arek, wygląda na to, że odpowiedzią na Twoje pytanie będzie pierścień ilorazowy \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X]/(X^n+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\) to najmniejsze ciało charakterystyki dwa (czyli \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\) z działaniami modulo 2).

Pozdrawiam

Ja tego absolutnie nie zakładam. Rozważyłam ten przypadek. Teraz widze ze owszem, z małym niedopatrzeniem (co jeśli \(\displaystyle{ 1+1=0}\)), ale w pierścieniach o "charakterystyce" większej od dwóch grupa jedności ma rząd parzysty. Wystarczyło zatem sprawić, że \(\displaystyle{ 1+1=0}\). Rzeczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X]/(X^n + 1)}\) czy też \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X]/(X^n - 1), \mathbb{Z}_2[ \sqrt[n]{1} ], \mathbb{Z}_2[ \sqrt[n]{-1} ]}\) są dobrymi przykładami (izomorficznymi oczywiście).
Ale pierścienie "charakterystyki" 2 są raczej mało ciekawe
Można jeszcze zadać pytanie czy dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych pierścień musi być skończony

Pozdrawiam,
mu

mu pisze:Można jeszcze zadać pytanie czy dla n nieparzystych pierścień musi być skończony

np. \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X,Y]/(X^n+1)}\)

mu pisze:Ale pierścienie "charakterystyki" 2 są raczej mało ciekawe

Ba, tego bym nie powiedział... ogromna część współczesnej informatyki (w tym matematyki dyskretnej, kryptografii, itp.) na nich bazuje, a są tam przecież ciekawe problemy...

Podbiję, bo chociaż problem stary i niby rozwiązany, to jednak ciekawy i rozwiązany źle.

Problem w tym, że grupa jedności pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[X]/(X^{n}+1)}\) na ogół nie jest \(\displaystyle{ n}\) elementowa.
Już dla \(\displaystyle{ n= 4}\) jeśli przez \(\displaystyle{ x}\) oznaczymy warstwę wielomianu \(\displaystyle{ X}\), to mamy \(\displaystyle{ x^{2} + x + 1\in U(\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{4}+1)),}\) bowiem \(\displaystyle{ (x^{2} + x + 1)^{2}x^{2} = 1,}\) przy czym \(\displaystyle{ x^{2} + x + 1\not \in \{1,x,x^{2},x^{3}\},}\) bo niezerowy wielomian stopnia niższego niż 4 nie może być podzielny w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[X]}\) przez \(\displaystyle{ X^{4}+1}\)
W ogólności
\(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[X]/(X^{n}+1)\cong \mathbb{F}_{2}[C_{n}]}\)
(izomorfizm jest zadany na generatorze \(\displaystyle{ g}\) grupy \(\displaystyle{ C_{n}}\) jako \(\displaystyle{ g\mapsto x}\)),
więc twierdzenia i Wedderburna-Artina gwarantują, że dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[X]/(X^{n}+1)}\) jest iloczynem prostym ciał charakterystyki 2, skąd
\(\displaystyle{ \#U(\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{n}+1)) = (2^{m_{1}} - 1)\cdot \ldots\cdot (2^{m_{l}} - 1),}\) dla pewnych \(\displaystyle{ l, m_{1},\ldots, m_{l}}\) całkowitych dodatnich, więc np umykają nam tym sposobem wszystkie nieparzyste liczby pierwsze nie będące liczbami Mersenne'a (jest ich nieskończenie wiele).


Co więcej ten sam argument działa również w przypadku wyjściowego problemu.

Załóżmy bowiem, że \(\displaystyle{ R}\) jest pierścieniem przemiennym z jedynką takim, że \(\displaystyle{ \# U(R) = n,}\) jest liczbą nieparzystą.
Jak zostało zauważone wyżej, \(\displaystyle{ \text{char}\, R = 2,}\) bo inaczej \(\displaystyle{ -1}\) jest elementem rzędu 2 w \(\displaystyle{ U(R)}\) i z tw Lagrange'a \(\displaystyle{ 2\mid n.}\)
Monomorfizm półgrup mutipilkatywnych \(\displaystyle{ U(R)\to R}\) przedłuża się w naturalny sposób do homomorfizmu pierścieni \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[U(R)]\to R.}\)
Ponieważ obraz tego homomorfizmu jest podpierścieniem \(\displaystyle{ R}\) zawierającym \(\displaystyle{ U(R),}\) to bez straty ogóności możemy założyć, że odwzorowanie to jest epimorfizmem.
Zatem dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych wyjściowe pytanie sprowadza się do pytania, czy istnieje grupa abelowa \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ n,}\) taka, że pewien obraz homomorficzny \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[G]}\) ma \(\displaystyle{ n}\) elementową grupę jedności.

Wspomniane twierdzenia Maschkego i Wedderburna-Artina gwarantują, że \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[U(R)]}\) jest skończonym iloczynem prostym ciał charakterystyki 2.
Stąd dowolny obraz homomorficzny \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[U(R)]}\) jest również skończonym iloczynem prostym takich ciał.
Czyli:
\(\displaystyle{ n=\#U(R) = (2^{m_{1}} - 1)\cdot \ldots\cdot (2^{m_{l}} - 1),}\) dla pewnych \(\displaystyle{ l, m_{1},\ldots, m_{l}}\) całkowitych dodatnich.
W szczególności istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych dla których odpowiedź na wyjściowe pytanie jest negatywna. Najmniejszą taką liczbą jest 5.


Chętnie zobaczę inne przemyślenia na ten temat. Być może też da się uzyskać powyższy wynik bez użycia 'dużych twierdzeń z nazwiskami', albo używając jedynie metod algebry przemiennej.

Dobrze byłoby zrobić nowy wątek, żeby oddzielić poprawne wyniki od izomorfizmów z samego początku. Zwłaszcza jak ktoś coś będzie chciał dopisać.
A zadanko strasznie fajne.

Na razie może niech zostanie tak jak jest, w końcu jest to odpowiedź na pytanie postawione tutaj i komentarz do dyskusji powyżej, choć większość dyskutantów nie udziela się już na forum.

Jeśli wątek się rozwinie, to będzie można pomyśleć o oddzielnym temacie.