Matematyka.pl

Moi drodzy Forumowicze. Sprawa jest taka. Otóż staram się zrozumieć pojęcie modułu. Wikipedia podaje, że zaczęło się od Kroneckera, który „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; wynikało to z pewnych dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji. Odniosę się najpierw do tej pierwszej otóż: dowolną grupę abelową można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując ab=0 dla każdego a, b należącego do G. Co to znaczy "przyjmując"? przecież w dowolnej grupoie abelowej i w dowolnym pierścieniu nie zawsze ab=0. Jak wymusić na elementach tej grupy taką własność? przecież nie musi ona zachodzić w dowolnejgrupie? czy to nie jest czasem tak, że w mnożeniu (jeśli chodzi o zwykły iloczyn) wynik jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy choć jeden z czynników jest równy 0?

epicka_nemesis pisze: ↑16 lis 2021, o 16:45 dowolną grupę abelową można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując ab=0 dla każdego a, b należącego do G. Co to znaczy "przyjmując"?

To znaczy, że definiujemy działanie "mnożenia" w ten właśnie sposób.

przecież w dowolnej grupoie abelowej i w dowolnym pierścieniu nie zawsze ab=0.

1. W grupie abelowej (w notacji addytywnej) nie jest określone mnożenie. 2. Nie twierdzimy przecież, że w ten sposób otrzymamy dowolny pierścień.

Jak wymusić na elementach tej grupy taką własność? przecież nie musi ona zachodzić w dowolnejgrupie?

No właśnie jeśli tak zdefiniujemy, to będzie tak w powstałym pierścieniu dla dowolnej grupy (pamiętajmy, że sama grupa ma tylko działanie dodawania).

czy to nie jest czasem tak, że w mnożeniu (jeśli chodzi o zwykły iloczyn) wynik jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy choć jeden z czynników jest równy 0?

Zwykły iloczyn jak najbardziej tak, ale tutaj nie dostaniemy zwykłego iloczynu.

matmatmm pisze: ↑16 lis 2021, o 18:22 Zwykły iloczyn jak najbardziej tak, ale tutaj nie dostaniemy zwykłego iloczynu.

A jaki?
1) Czyli bierzemy wszystkie elementy z grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) i przekształcamy go w pierścień w ten sposób, że każdy element z każdym innym tworzy iloczyn \(\displaystyle{ ab=0}\)?
2) Jaki to ma związek z powstawaniem modułów?

Moduł \(\displaystyle{ M }\) jest uogólnieniem idei przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), gdzie zamiast ciała \(\displaystyle{ K }\) jest pierścień \(\displaystyle{ R}\).

epicka_nemesis pisze: ↑16 lis 2021, o 20:01 1) Czyli bierzemy wszystkie elementy z grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) i przekształcamy go w pierścień w ten sposób, że każdy element z każdym innym tworzy iloczyn \(\displaystyle{ ab=0}\)?

Używasz bardzo nieprecyzyjnego języka, ale z grubsza tak.

2) Jaki to ma związek z powstawaniem modułów?

Typowymi przykładami modułów są ideały pierścienia z jedynką. Z drugiej strony (wg Wikipedii) Kronecker nazywał modułami podgrupy grup abelowych. Jeśli w grupie abelowej wprowadzimy działanie mnożenia według wzoru \(\displaystyle{ a\cdot b=0}\), powstaje nam pierścień, którego ideały to właśnie podgrupy wyjściowej grupy. Uwaga: Powstały pierścień nie ma jedynki, przez co jego ideały (czyli podgrupy wyjściowej grupy) nie są modułami w sensie współczesnej definicji (wg Wikipedii).

mol_ksiazkowy pisze: ↑17 lis 2021, o 09:10 Moduł \(\displaystyle{ M }\) jest uogólnieniem idei przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), gdzie zamiast ciała \(\displaystyle{ K }\) jest pierścień \(\displaystyle{ R}\).

Tyle wiem z Wikipedii. Chociaż... dobrze, że zwracasz na to uwagę, to porządkuje moje informacje w głowie

matmatmm trochę mi jaśniej w głowie. Dzięki. Zauważyłam tą różnicę w definicjach, nie wiem tylko czym była spowodowana. Pytanie więc dalsze- dlaczego współczesna definicja różni się od tej Kroneckera?

Dziękuję Wam obu i może znacie odpowiedź na moje kolejne pytanie.

epicka_nemesis pisze: ↑17 lis 2021, o 21:28 Pytanie więc dalsze- dlaczego współczesna definicja różni się od tej Kroneckera?

Z mojego punktu widzenia wprowadzanie nowej nazwy na podgrupy grup abelowych niewiele wnosi, bo nie wprowadzamy w ten sposób żadnej nowej struktury. Z drugiej strony współczesna definicja modułu obejmuje wiele różnych struktur.