Matematyka.pl

Czy dla kwaternionów zachodzą wzory skróconego mnożenia?
Kiedy obliczam \(\displaystyle{ (i + j)(i - j)}\), wychodzi mi \(\displaystyle{ i^{2} - j^{2} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0}\).
Ale gdzie indziej na tym forum wyczytałem, że nietrywialne dzielniki zera są dopiero dla sedenionów.
Chyba że to powinno być: \(\displaystyle{ i( i - j) + j(i - j) = -1 -ij + ji - (-1) = -ij + ji = -k + (-k) = -2k}\)

Wzory skróconego mnożenia zakładają przemienność mnożenia. W kwaternionach mnożenie przemienne nie jest, dlatego te wzory w nich nie zachodzą. Na przykład:

\(\displaystyle{ (a+b)(a-b) = a \cdot a + b \cdot a - a \cdot b - b \cdot b = a^2 - b^2 + (ba-ab)}\)

i część w nawiasach może się nie skrócić, tak jak w rozważanym przez Ciebie przypadku \(\displaystyle{ a = i}\), \(\displaystyle{ b = j}\).