Matematyka.pl

Mam takie zadanie
Niech \(\displaystyle{ G=GL(2,\RR)}\) i niech \(\displaystyle{ H= \lbrace \lambda * I \in G: \lambda \in \RR^* \rbrace }\) (gdzie \(\displaystyle{ \RR^*}\) to zbiór liczb rzeczywistych bez zera) gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową w \(\displaystyle{ G}\). Wykazać ,że dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A \in G}\) istnieje dokładnie jedna macierz \(\displaystyle{ B \in GL(2,\RR)}\) taka że \(\displaystyle{ |\det(B)|=1}\) oraz \(\displaystyle{ B \in AH}\).

Rozwiązywałem ten problem w następujący sposób.
Niech \(\displaystyle{ A \in G}\) i przyjmijmy że \(\displaystyle{ \det(A)=\frac{1}{x^2}}\) (w przypadku gdy wyznacznik jest ujemny to jeszcze minus dokładamy)
Teraz w zbiorze \(\displaystyle{ AH= \lbrace A*\lambda * I \in G: \lambda \in \RR^* \rbrace }\) musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ B}\) żeby zachodziło \(\displaystyle{ |\det(B)|=1}\) oraz \(\displaystyle{ B \in AH}\). Rozważmy macierzy \(\displaystyle{ x*A}\) która należy do \(\displaystyle{ AH}\), wtedy jej wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ \det(x*A)=x^2\det(A) = x^2 * \frac{1}{x^2}=1}\) zatem macierz \(\displaystyle{ B=x*A}\) spełnia warunki. Ale przeprowadzająć to samo rozumowanie dla macierzy \(\displaystyle{ B=(-x)*A}\) dostajemy że taka macierz również spełnia warunki z treści więc dla ustalonego \(\displaystyle{ A}\) w warstwie \(\displaystyle{ AH}\) zawsze będą dwie macierze spełniające warunki zadania. Czy w takim razie w treści musi być błąd?

Zgadza się - takie macierze są zawsze dwie, więc w treści jest błąd.