Witam.
Z góry proszę o wybaczenie, że nie używałem Latex'a, obiecuję, że to pierwszy i ostatni raz.
Mam kilka problemów z którymi nie mogę sobie poradzić:
Zadanie 1
Zbadać, czy zbiór macierzy macierzy M z dodawaniem jest izomorficzny ze zbiorem liczb zespolonych bez zera z mnożeniem.
czyli, czy (M, +) jest izomorficzne z (C\{0}, *), przy czym a+bi ->
W ogóle nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. To znaczy, że muszę sprawdzić najpierw czy jest homomorfizm, czyli:
h((a+bi) + (c+di)) = h(a+bi) * h(c+di) ??
Jeżeli będą równe, to wtedy jest homomorfizm? Problem w tym, że nie wychodzą równe :/
Czy coś źle robie? Gdyby wychodziło jednak, że wzór jest dobry, to co dalej powinienem zrobić? Udowodnić różnowartościowość i „na”?
Zadanie 2
Czy odwzorowanie f:Z->Z, gdzie f(k)=-k jest endomorficznym odwzorowaniem pierścienia?
Rozumiem, że tutaj trzeba tylko sprawdzić h(k1+k2)=h(k1)+h(k2), a także
h(k1*k2)=h(k1)*h(k2)?
Zadanie 3
Wykazać, że zbiór (Q1, +, *) jest izomorficzny ze zbiorem (Q2,+,*)
Q1={a+ b*pierwiastek(2), a + b należy do Q}
Q2={a+bi ; a+b należy do Q)
Jak się za to zabrać? Od czego zacząć?
Zadanie 4
Sprawdzić, czy przekształcenie dane wzorem jest izomorfizmem grupy addytywnej liczb zespolonych na grupę addytywną macierzy postaci .
Tutaj kolega podesłał mi jakieś rozwiązanie, ale nie jestem co do niego pewien niestety i w ogóle jakoś mi nie pasuje :/
Przepraszam, że nie napisałem tego tak czytelnie jak Wy to zazwyczaj robicie.
Z góry serdecznie dziękuję za wszelką pomoc
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11422
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
BigSpider napisał:
h((a+bi) * (c+di)) = h(a+bi) + h(c+di)
musisz sprawdzic:W ogóle nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. To znaczy, że muszę sprawdzić najpierw czy jest homomorfizm, czyli:
h((a+bi) + (c+di)) = h(a+bi) * h(c+di) ??
h((a+bi) * (c+di)) = h(a+bi) + h(c+di)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2006, o 21:10 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
Aha. Nom myślałem, że gdy jest odwzorowanie addytywne na multiplikatywne, to wtedy stosujemy taki wzór: h(A+B)=h(A)*h(B), czyli jednym słowem myliłem się? To w takim razie jaka jest reguła? Co robimy gdy jest odzworowanie addytywne na multiplikatywne, multiplikatywne na addytywne, addytywne na addytywne i multiplikatywne na multiplikatywne? Powoli się w tym wszystkim zaczynam motać :/
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11422
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
OK dzięki akurat tego się domyśliłem, tylko z których wzorów skorzystać, żeby to sprawdzić, bo w końcu mamy tam trochę więcej działańmol_ksiazkowy pisze:ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11422
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
Big Spider napisał:
tak ,Zadanie 2
Czy odwzorowanie f:Z->Z, gdzie f(k)=-k jest endomorficznym odwzorowaniem pierścienia?
Rozumiem, że tutaj trzeba tylko sprawdzić h(k1+k2)=h(k1)+h(k2), a także
h(k1*k2)=h(k1)*h(k2)?
-
- Użytkownik
- Posty: 365
- Rejestracja: 11 lip 2004, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jarosław/Kraków
- Pomógł: 2 razy
Izomorfizmy, homomorfizmy, pierścienie
no chyba nie bardzo bo gdyby to: \(\displaystyle{ f(a^2-2b^2)=f((a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b))=f(a+\sqrt{2}b)f(a-\sqrt{2}b)=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2}\)mol_ksiazkowy pisze:ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)
kładziesz \(\displaystyle{ a=1 , b=0}\) potem na wspak i bijektywność sie kładzie...
w ogóle izo. nie istnieje bo musiało by być \(\displaystyle{ f(\sqrt{2})^2 =2}\) (pokaz korzystając z \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1}\))