Matematyka.pl

Jeżeli nie rozumiesz, na czym polega rozumowanie nie wprost (bo - jak rozumiem - tego dotyczyła Twoja odpowiedź), to szczerze mówiąc nie bardzo wiem, co robisz na algebrze abstrakcyjnej. To trochę tak, jakby osoba na kursie nurkowania stwierdziła nagle, że nie umie pływać.

Rozumowanie nie wprost to sposób dowodzenia twierdzeń, w którym czynimy dodatkowe założenie, będące zaprzeczeniem tezy (nazywamy je "założeniem nie wprost") i wykonując poprawne wnioskowania doprowadzamy do sprzeczności. Ponieważ z prawdy nie można w poprawny sposób wywnioskować fałszu, więc nasze założenie nie wprost musiało być fałszywe, czyli teza jest prawdziwa.

JK

No to może tak: w \(\displaystyle{ \RR^*}\) jest element rzędu `2`, bo \(\displaystyle{ (-1)\cdot(-1)=1}\). Spróbuj poszukac takiego elementu w `\RR`.

Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2022, o 11:51 Powinno być tak:
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\). Wtedy \(\displaystyle{ 0=f(1)=f((-1) \cdot (-1))=f(-1)+f(-1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\).

JK

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\), czy to chodzi element odwrotny?

Bo skoro \(\displaystyle{ 0=f(-1)+f(-1)}\), to \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\).

A chodzi o dojście do sprzeczności, bo to jest rozumowanie nie wprost. No i to jest właśnie sprzeczność, bo wyszło nam, że \(\displaystyle{ f(-1)}\) jest odwrotny sam do siebie, a w grupie \(\displaystyle{ \left( \RR,\,+\right) }\) jedynym elementem o tej własności jest \(\displaystyle{ 0}\). No ale \(\displaystyle{ 0=f(1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\), co przeczy temu, że \(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem.